3√2ab*3√4a^2b*3√27b
Чтобы решить выражение \(3\sqrt{2ab} \cdot 3\sqrt{4a^2b} \cdot 3\sqrt{27b}\), начнем с того, что произведение корней можно упростить, объединив под одним корнем.
Перепишем выражение в виде: \[ 3\sqrt{2ab} \cdot 3\sqrt{4a^2b} \cdot 3\sqrt{27b} = 3^3 \cdot \sqrt{2ab \cdot 4a^2b \cdot 27b} \] Здесь мы выделили \(3^3\) из каждого корня, так как у нас три множителя.
Теперь посчитаем \(3^3\): \[ 3^3 = 27 \]
Перепишем подкоренное выражение: \[ \sqrt{2ab \cdot 4a^2b \cdot 27b} = \sqrt{(2 \cdot 4 \cdot 27) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (b \cdot b \cdot b)} \]
Упростим каждую часть:
- \(2 \cdot 4 \cdot 27 = 216\)
- \(a \cdot a^2 = a^3\)
- \(b \cdot b \cdot b = b^3\)
Теперь всё в одном корне: \[ \sqrt{216 \cdot a^3 \cdot b^3} \]
Далее упрощаем корень: \[ \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \quad (\text{так как } 216 = 36 \cdot 6 \text{ и } \sqrt{36} = 6) \] А также: \[ \sqrt{a^3} = a^{3/2} = a \cdot \sqrt{a} \quad \text{и} \quad \sqrt{b^3} = b^{3/2} = b \cdot \sqrt{b} \]
Объединив всё, получаем: \[ \sqrt{216 \cdot a^3 \cdot b^3} = 6\sqrt{6} \cdot a \cdot \sqrt{a} \cdot b \cdot \sqrt{b} \]
Соединим всё вместе: \[ 27 \cdot 6\sqrt{6} \cdot a \cdot b \cdot \sqrt{ab} \] Итого, конечный результат: \[ 162ab\sqrt{6ab} \]
Таким образом, окончательный ответ: \[ 162ab\sqrt{6ab} \]
