|x²-3x+2|+|x²-5x+6|=2

Решим уравнение \(|x^2 - 3x + 2| + |x^2 - 5x + 6| = 2\).

Начнем с разложения каждого выражения под модулем:

1. \(x^2 - 3x + 2\) можно разложить как \((x - 1)(x - 2)\).

   • Этот многочлен равен 0 при \(x = 1\) и \(x = 2\).
   • Он положителен, когда \(x < 1\) или \(x > 2\) и отрицателен при \(1 < x < 2\).

2. \(x^2 - 5x + 6\) можно разложить как \((x - 2)(x - 3)\).

   • Этот многочлен равен 0 при \(x = 2\) и \(x = 3\).
   • Он положителен при \(x < 2\) или \(x > 3\) и отрицателен при \(2 < x < 3\).

Теперь определим интервалы, в которых меняются знаки выражений, чтобы рассматривать их по частям.

Мы имеем такие интервалы:

• \( (-\infty, 1) \)
• \( [1, 2) \)
• \( [2, 3) \)
• \( [3, +\infty) \)

Теперь проверим каждый из этих интервалов:

1. Для \( x < 1 \): \(|x^2 - 3x + 2| = -(x^2 - 3x + 2)\) и \(|x^2 - 5x + 6| = -(x^2 - 5x + 6)\). Так, у нас: \[ -x^2 + 3x - 2 - x^2 + 5x - 6 = 2 \implies -2x^2 + 8x - 8 = 2 \implies -2x^2 + 8x - 10 = 0 \implies x^2 - 4x + 5 = 0 \] Этот дискриминант отрицательный, следовательно, решений нет.

2. Для \( 1 \leq x < 2 \): \(|x^2 - 3x + 2| = 0\) и \(|x^2 - 5x + 6| = -(x^2 - 5x + 6)\). Тогда: \[ 0 - (-(x^2 - 5x + 6)) = 2 \implies x^2 - 5x + 6 = 2 \implies x^2 - 5x + 4 = 0 \implies (x - 4)(x - 1) = 0 \] решений: \(x = 1\) или \(x = 4\). Поскольку \(x = 1\) подходит, \(x = 4\) нет.

3. Для \( 2 \leq x < 3 \): \(|x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2\) и \(|x^2 - 5x + 6| = -(x^2 - 5x + 6)\). \[ (x^2 - 3x + 2) - (-(x^2 - 5x + 6)) = 2 \implies x^2 - 3x + 2 + x^2 - 5x + 6 = 2 \implies 2x^2 - 8x + 6 = 2 \] Это приводит к уравнению: \[ 2x^2 - 8x + 4 = 0 \implies x^2 - 4x + 2 = 0 \] Дискриминант \(\Delta = 4 - 8 = -4\), значит, решений нет.

4. Для \(x \geq 3\): \(|x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2\) и \(|x^2 - 5x + 6| = x^2 - 5x + 6\). Тогда: \[ (x^2 - 3x + 2) + (x^2 - 5x + 6) = 2 \implies 2x^2 - 8x + 8 = 2 \implies 2x^2 - 8x + 6 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \] Здесь мы имеем: \[ (x - 3)(x - 1) = 0 \implies x = 3 \text{ или } x = 1 \] Поскольку рассматриваем только интервалы \(x \geq 3\), оставляем только \(x = 3\).

Итак, возможные решения:

• \(x = 1\) из интервала \([1, 2)\)
• \(x = 3\) из интервала \([3, +\infty)\)

Ответ: \(x = 1\) и \(x = 3\).