Пуля, летящая горизонтально со скоростью 200 м/с, попадает в деревянный брусок массой 40 кг, подвешенный на нити. Брусок поднялся на высоту 40 см, Чему равна масса пули?
Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения импульса и законом сохранения энергии.
Закон сохранения импульса: Когда пуля входит в брусок, общий импульс системы (пуля + брусок) до столкновения должен равняться импульсу системы после столкновения. Запишем это:
\[ m \cdot v = (M + m) \cdot V \]
где
- \( m \) - масса пули,
- \( v = 200 \, \text{м/с} \) - скорость пули,
- \( M = 40 \, \text{кг} \) - масса бруска,
- \( V \) - скорость системы после столкновения.
Закон сохранения механической энергии: Когда брусок поднимается на высоту \( h = 0.4 \, \text{м} \), его потенциальная энергия равна:
\[ E_p = (M + m) \cdot g \cdot h \]
где
- \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \) - ускорение свободного падения.
После столкновения брусок и пуля движутся вместе, следовательно, их общая энергия вычисляется как сумма кинетической и потенциальной энергии:
\[ E_k = \frac{1}{2} \cdot (M + m) \cdot V^2 \]
Теперь приравняем потенциальную энергию после подъема к кинетической энергии сразу после столкновения:
\[ (M + m) \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (M + m) \cdot V^2 \]
Сначала найдем \( V \) через уравнение сохранения энергии:
\[ (M + m) \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (M + m) \cdot V^2 \]
Упрощая, получаем:
\[ g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot V^2 \]
Подставим \( g \) и \( h \):
\[ 9.81 \cdot 0.4 = \frac{1}{2} \cdot V^2 \]
\[ 3.924 = \frac{1}{2} \cdot V^2 \]
\[ V^2 = 7.848 \implies V \approx \sqrt{7.848} \approx 2.8 \, \text{м/с} \]
Теперь подставим значение \( V \) в закон сохранения импульса:
\[ m \cdot 200 = (40 + m) \cdot 2.8 \]
Раскроем скобки:
\[ 200m = 112 + 2.8m \]
Переносим \( 2.8m \) на левую сторону:
\[ 200m - 2.8m = 112 \]
\[ 197.2m = 112 \]
Теперь найдем массу пули \( m \):
\[ m = \frac{112}{197.2} \approx 0.567 \, \text{кг} \]
Таким образом, масса пули равна приблизительно 0.567 кг.
