Найдите наибольший общий делитель чисел: а)585 и 360 б)680 и 612

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, можно использовать метод разложения на простые множители или алгоритм Евклида. Рассмотрим оба подхода на примерах.

а) Для чисел 585 и 360:

1. Разложим на простые множители:

   • 585:

     • 585 делится на 5: \(585 \div 5 = 117\)
     • 117 делится на 3: \(117 \div 3 = 39\)
     • 39 делится на 3: \(39 \div 3 = 13\)
     • 13 — простое число.

     Поэтому разложение 585: \(5 \times 3^2 \times 13\).

   • 360:

     • 360 делится на 2: \(360 \div 2 = 180\)
     • 180 делится на 2: \(180 \div 2 = 90\)
     • 90 делится на 2: \(90 \div 2 = 45\)
     • 45 делится на 3: \(45 \div 3 = 15\)
     • 15 делится на 3: \(15 \div 3 = 5\)
     • 5 — простое число.

     Поэтому разложение 360: \(2^3 \times 3^2 \times 5\).

2. Находим НОД:

   • Общие множители: 3^2 и 5.
   • Степени минимальных общих множителей: \(3^2\) и \(5^1\).
   • НОД = \(3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45\).

Таким образом, НОД чисел 585 и 360 равен 45.

б) Для чисел 680 и 612:

1. Разложим на простые множители:

   • 680:

     • 680 делится на 2: \(680 \div 2 = 340\)
     • 340 делится на 2: \(340 \div 2 = 170\)
     • 170 делится на 2: \(170 \div 2 = 85\)
     • 85 делится на 5: \(85 \div 5 = 17\) (17 — простое число).

     Поэтому разложение 680: \(2^3 \times 5 \times 17\).

   • 612:

     • 612 делится на 2: \(612 \div 2 = 306\)
     • 306 делится на 2: \(306 \div 2 = 153\)
     • 153 делится на 3: \(153 \div 3 = 51\)
     • 51 делится на 3: \(51 \div 3 = 17\) (17 — простое число).

     Поэтому разложение 612: \(2^2 \times 3^2 \times 17\).

2. Находим НОД:

   • Общие множители: 2 и 17.
   • Степени минимальных общих множителей: \(2^2\) и \(17^1\).
   • НОД = \(2^2 \times 17 = 4 \times 17 = 68\).

Таким образом, НОД чисел 680 и 612 равен 68.

В итоге, ответы: а) НОД(585, 360) = 45 б) НОД(680, 612) = 68