x²-x-12/x+5>0
Для решения неравенства \(\frac{x^2 - x - 12}{x + 5} > 0\) давайте сначала разложим числитель.
Разложение числителя. Нужно разложить квадратное выражение \(x^2 - x - 12\). Мы ищем такие два числа, которые в произведении дадут \(-12\) (свободный член) и в сумме \( -1\) (коэффициент при \(x\)). Это числа \(3\) и \(-4\). Таким образом, мы можем записать:
\[ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) \]
Запишем неравенство. Теперь неравенство можно переписать так:
\[ \frac{(x - 4)(x + 3)}{(x + 5)} > 0 \]
Найдём нули и неопределённые точки. Нули числителя: \(x - 4 = 0\) дает \(x = 4\) и \(x + 3 = 0\) дает \(x = -3\).
Ноль знаменателя: \(x + 5 = 0\) даёт \(x = -5\). Эта точка делает дробь неопределённой.
Построим числовую прямую. Рассмотрим точки: \(-5\), \(-3\) и \(4\). Теперь у нас есть интервалы:
- \((-\infty, -5)\)
- \((-5, -3)\)
- \((-3, 4)\)
- \((4, +\infty)\)
Определим знаки на интервалах. Для этого подберём произвольные точки из каждого интервала:
Для \((-\infty, -5)\), возьмем \(x = -6\): \[ \frac{(-6 - 4)(-6 + 3)}{-6 + 5} = \frac{(-10)(-3)}{-1} = \frac{30}{-1} < 0 \]
Для \((-5, -3)\), возьмем \(x = -4\): \[ \frac{(-4 - 4)(-4 + 3)}{-4 + 5} = \frac{(-8)(-1)}{1} = \frac{8}{1} > 0 \]
Для \((-3, 4)\), возьмем \(x = 0\): \[ \frac{(0 - 4)(0 + 3)}{0 + 5} = \frac{(-4)(3)}{5} = \frac{-12}{5} < 0 \]
Для \((4, +\infty)\), возьмем \(x = 5\): \[ \frac{(5 - 4)(5 + 3)}{5 + 5} = \frac{(1)(8)}{10} = \frac{8}{10} > 0 \]
Результаты. Таким образом, у нас получились следующие знаки:
- \((-\infty, -5)\): < 0
- \((-5, -3)\): > 0
- \((-3, 4)\): < 0
- \((4, +\infty)\): > 0
Соберём ответ. Нам нужны интервалы, где неравенство истинно. Это \((-5, -3)\) и \((4, +\infty)\).
Итак, ответ на неравенство будет:
\[ x \in (-5, -3) \cup (4, +\infty) \]
