Два велосипедиста выезжают из лагеря и движутся с постоянными скоростями вдоль прямого отрезка шоссе в одном направлении. Скорость первого 7,2 км/ч. Второй проехал мимо дорожного знака на 20 с позже первого. На каком расстоянии от дорожного знака он догонит первого велосипедиста, если его скорость на 1 м/с больше скорости первого? Решите задачу аналитически и графически, построив графики х(1) для каждого велосипедиста

Для решения этой задачи давайте сначала переведем скорость первого велосипедиста из км/ч в м/с.

Скорость первого велосипедиста: \[ 7,2 \, \text{км/ч} = \frac{7,2 \times 1000}{3600} \, \text{м/с} = 2 \, \text{м/с} \]

Скорость второго велосипедиста на 1 м/с больше: \[ v_2 = 2 \, \text{м/с} + 1 \, \text{м/с} = 3 \, \text{м/с} \]

Пусть первый велосипедист выезжает из лагеря в момент времени \( t = 0 \), тогда его положение в зависимости от времени выражается как: \[ x_1(t) = 2t \]

Второй велосипедист проехал мимо дорожного знака на 20 секунд позже, то есть его время можно выразить как \( t - 20 \) (это время во время которое он начал движение). Положение второго велосипедиста: \[ x_2(t) = 3(t - 20) = 3t - 60 \]

Теперь нам нужно найти момент времени \( t \), когда оба велосипедиста будут на одном и том же расстоянии от лагеря, то есть решить уравнение: \[ x_1(t) = x_2(t) \] Подставим наши уравнения в это уравнение: \[ 2t = 3t - 60 \]

Теперь перенесем все члены на одну сторону: \[ 60 = 3t - 2t \\ t = 60 \, \text{с} \]

Теперь найдем, на каком расстоянии от дорожного знака второй велосипедист догонит первого. Подставим \( t \) в уравнение для первого велосипедиста (либо второго, так как они совпадают в этот момент): \[ x_1(60) = 2 \cdot 60 = 120 \, \text{м} \]

Это означает, что первый велосипедист на расстоянии 120 метров от лагеря, когда его догонит второй велосипедист. Теперь, чтобы найти расстояние от дорожного знака, который он проехал за 20 секунд: \[ x_{\text{знак}} = 2 \cdot 20 = 40 \, \text{м} \]

Таким образом, расстояние от дорожного знака до места, где второй велосипедист догонит первого, будет: \[ 120 \, \text{м} - 40 \, \text{м} = 80 \, \text{м} \]

Теперь давайте графически представим эти функции. Положим на ось X время в секундах, а на ось Y расстояние в метрах.

1. Для первого велосипедиста: \( x_1(t) = 2t \).
2. Для второго велосипедиста: \( x_2(t) = 3t - 60 \).

На графике \( x_1(t) \) будет прямой с угловым коэффициентом 2, а \( x_2(t) \) будет прямой с угловым коэффициентом 3, но с начальным смещением вниз на 60 метров. Пересечение этих двух линий произойдет в точке \( t = 60 \, \text{с} \), где расстояние от дорожного знака будет 80 метров.

Таким образом, второй велосипедист догонии первого на расстоянии 80 метров от дорожного знака.