Решите неравенство выражение (x + 3 )^3( 3x - 2 - x²)равно и больше нуля

Question 1

Задача Задача №1532533

А

Аноним

17 сентября 2024 15:17 · публичный вопрос

А

Аноним 17 сентября 2024 15:17

Решите неравенство выражение (x + 3 )^3( 3x - 2 - x²)равно и больше нуля

Answer

Чтобы решить неравенство \((x + 3)^3(3x - 2 - x^2) \geq 0\), начнем с анализа каждого множителя.

Рассмотрим первый множитель: \((x + 3)^3\). Это выражение является кубом и всегда имеет знак, совпадающий со знаком \(x + 3\). Оно равно нулю, когда \(x + 3 = 0\), то есть \(x = -3\). Для \(x > -3\) оно положительно, а для \(x < -3\) - отрицательно.
Рассмотрим второй множитель: \(3x - 2 - x^2\). Можно преобразовать его в более удобный вид: \[ -x^2 + 3x - 2, \] что эквивалентно \[ -(x^2 - 3x + 2). \] Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0\). Это можно сделать, разложив его на множители: \[ (x - 1)(x - 2) = 0. \] Таким образом, корни — \(x = 1\) и \(x = 2\).

Теперь проанализируем знак второго множителя. На интервалах \((-\infty, 1)\), \((1, 2)\) и \((2, \infty)\) определим его знак:
- Для \(x < 1\) (например, \(x = 0\)): \(3(0) - 2 - 0^2 = -2\) (отрицательно).
- Для \(1 < x < 2\) (например, \(x = 1.5\)): \(3(1.5) - 2 - (1.5)^2 = 4.5 - 2 - 2.25 = 0.25\) (положительно).
- Для \(x > 2\) (например, \(x = 3\)): \(3(3) - 2 - 3^2 = 9 - 2 - 9 = -2\) (отрицательно).

Теперь у нас есть вся информация о знаках множителей:

\((x + 3)^3\) меняет знак в \(x = -3\).
\(3x - 2 - x^2\) меняет знак в \(x = 1\) и \(x = 2\).

Теперь мы можем определить интервалы, где произведение \((x + 3)^3(3x - 2 - x^2) \geq 0\):

На интервале \((- \infty, -3)\): оба множителя отрицательны \(\Rightarrow\) произведение положительно.
На интервале \((-3, 1)\): первый множитель положителен, второй отрицателен \(\Rightarrow\) произведение отрицательно.
На интервале \((1, 2)\): оба множителя положительны \(\Rightarrow\) произведение положительно.
На интервале \((2, \infty)\): первый множитель положителен, второй отрицателен \(\Rightarrow\) произведение отрицательно.

Теперь подводим итоги:

В точках \(x = -3\), \(x = 1\) и \(x = 2\) произведение равно нулю.
Положительные интервалы: \((-\infty, -3]\) и \([1, 2]\).

Таким образом, объединяя все это, решение неравенства \((x + 3)^3(3x - 2 - x^2) \geq 0\) будет: \[ x \in (-\infty, -3] \cup [1, 2]. \]

Question 2

решите неравенство выражение (x + 3 )^3( 3x - 2 - x²)равно и больше нуля

Answer

Чтобы решить неравенство \((x + 3)^3(3x - 2 - x^2) \geq 0\), начнем с анализа каждого множителя. 1. **Рассмотрим первый множитель**: \((x + 3)^3\). Это выражение является кубом и всегда имеет знак, совпадающий со знаком \(x + 3\). Оно равно нулю, когда \(x + 3 = 0\), то есть \(x = -3\). Для \(x > -3\) оно положительно, а для \(x < -3\) - отрицательно. 2. **Рассмотрим второй множитель**: \(3x - 2 - x^2\). Можно преобразовать его в более удобный вид: \[ -x^2 + 3x - 2, \] что эквивалентно \[ -(x^2 - 3x + 2). \] Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0\). Это можно сделать, разложив его на множители: \[ (x - 1)(x - 2) = 0. \] Таким образом, корни — \(x = 1\) и \(x = 2\). Теперь проанализируем знак второго множителя. На интервалах \((-\infty, 1)\), \((1, 2)\) и \((2, \infty)\) определим его знак: - Для \(x < 1\) (например, \(x = 0\)): \(3(0) - 2 - 0^2 = -2\) (отрицательно). - Для \(1 < x < 2\) (например, \(x = 1.5\)): \(3(1.5) - 2 - (1.5)^2 = 4.5 - 2 - 2.25 = 0.25\) (положительно). - Для \(x > 2\) (например, \(x = 3\)): \(3(3) - 2 - 3^2 = 9 - 2 - 9 = -2\) (отрицательно). Теперь у нас есть вся информация о знаках множителей: - \((x + 3)^3\) меняет знак в \(x = -3\). - \(3x - 2 - x^2\) меняет знак в \(x = 1\) и \(x = 2\). Теперь мы можем определить интервалы, где произведение \((x + 3)^3(3x - 2 - x^2) \geq 0\): - На интервале \((- \infty, -3)\): оба множителя отрицательны \(\Rightarrow\) произведение положительно. - На интервале \((-3, 1)\): первый множитель положителен, второй отрицателен \(\Rightarrow\) произведение отрицательно. - На интервале \((1, 2)\): оба множителя положительны \(\Rightarrow\) произведение положительно. - На интервале \((2, \infty)\): первый множитель положителен, второй отрицателен \(\Rightarrow\) произведение отрицательно. Теперь подводим итоги: 1. В точках \(x = -3\), \(x = 1\) и \(x = 2\) произведение равно нулю. 2. Положительные интервалы: \((-\infty, -3]\) и \([1, 2]\). Таким образом, объединяя все это, решение неравенства \((x + 3)^3(3x - 2 - x^2) \geq 0\) будет: \[ x \in (-\infty, -3] \cup [1, 2]. \]