Постройте график функции перечислите её свойства: а)у=3/х

График функции \( y = \frac{3}{x} \) представляет собой гиперболу, которая имеет множество интересных свойств. Давайте рассмотрим как построить график этой функции и перечислим её основные свойства.

1. Построение графика:

1. Определите область определения: Функция \( y = \frac{3}{x} \) определена для всех \( x \) кроме \( x = 0 \) (деление на ноль не определено). Таким образом, область определения: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

2. Найдите значения функции: Подставим несколько значений \( x \):

   • Если \( x = 1 \), то \( y = \frac{3}{1} = 3 \).
   • Если \( x = 3 \), то \( y = \frac{3}{3} = 1 \).
   • Если \( x = -1 \), то \( y = \frac{3}{-1} = -3 \).
   • Если \( x = -3 \), то \( y = \frac{3}{-3} = -1 \).

3. График:

   • При \( x \) положительных значения \( y \) также положительны, и наоборот, при \( x \) отрицательных значения \( y \) отрицательны.
   • График имеет две асимптоты: горизонтальная асимптоту \( y = 0 \) (к оси x) и вертикальную асимптоту \( x = 0 \) (к оси y).

2. Свойства функции \( y = \frac{3}{x} \):

• Область определения: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \).
• Область значений: \( y \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \).
• Асимптоты: Вертикальная асимптота \( x = 0 \) и горизонтальная асимптота \( y = 0 \).
• Четность: Функция является нечетной: \( f(-x) = -f(x) \).
• Монотонность:
  • Функция убывает на интервале \( (-\infty, 0) \).
  • Функция возрастает на интервале \( (0, +\infty) \).
• Поляс: Имеет две ветви, которые расположены в I и III четвях координатной плоскости.

3. График:

Чтобы визуально представить график функции \( y = \frac{3}{x} \):

    y
    |
  3 |        *       
    |       * *      
  1 |      *   *     
    |     *     *    
  0 +----*-------*---- x
    |    *       *  
 -1 |   *         *  
    |  *           *  
 -3 | *             * 
    |___________________

Это графическое представление гиперболы, где ветви расположены в I и III квадрантах.