110. Существуют ли треугольники, длины сторон которых — натуральные числа, а периметры являются простыми числами? Приведите примеры.

Да, существуют треугольники, длины сторон которых являются натуральными числами, а периметры этих треугольников — простые числа.

Чтобы понять, какие треугольники подходят под это определение, вспомним, что для треугольника с длинами сторон \(a\), \(b\) и \(c\) должно выполняться неравенство треугольника:

1. \(a + b > c\)
2. \(a + c > b\)
3. \(b + c > a\)

Периметр треугольника определяется как \(P = a + b + c\).

Теперь давайте приведем несколько примеров:

1. Рассмотрим треугольник со сторонами \(2\), \(2\) и \(3\).

   • Периметр: \(2 + 2 + 3 = 7\) (простое число).

2. Треугольник со сторонами \(3\), \(4\) и \(5\):

   • Периметр: \(3 + 4 + 5 = 12\) (не простое, но служит примером, чтобы проверить условия).

   Однако правильный пример будет:

3. Треугольник со сторонами \(2\), \(3\) и \(4\):

   • Периметр: \(2 + 3 + 4 = 9\) (не простое).

4. Треугольник со сторонами \(3\), \(3\) и \(5\):

   • Периметр: \(3 + 3 + 5 = 11\) (простое число).

Так что, по предоставленным примерам, мы можем увидеть, что треугольники действительно могут иметь периметры в виде простых чисел, если длины их сторон подходят под правило существования треугольников.