Решите биквадратное уравнение 5y⁴-5y²+2=0
Чтобы решить биквадратное уравнение \( 5y^4 - 5y^2 + 2 = 0 \), сначала рассмотрим, что это уравнение можно упростить с помощью подстановки. Обозначим \( z = y^2 \). Тогда наше уравнение преобразуется в:
\[ 5z^2 - 5z + 2 = 0. \]
Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \( z \). Для его решения можно использовать формулу дискриминанта и квадратичной формулы.
Сначала вычислим дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 25 - 40 = -15. \]
Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), это означает, что уравнение не имеет вещественных решений, а имеет комплексные корни.
Теперь найдем эти комплексные корни с использованием формулы для корней квадратного уравнения:
\[ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{-15}}{10} = \frac{5 \pm i\sqrt{15}}{10} = \frac{1}{2} \pm \frac{i\sqrt{15}}{10}. \]
Теперь вернемся к переменной \( y \). Поскольку \( z = y^2 \), мы можем написать:
\[ y^2 = \frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{15}}{10} \quad \text{и} \quad y^2 = \frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{15}}{10}. \]
Теперь нам нужно найти \( y \). Для этого извлечем квадратный корень из обеих частей.
Таким образом, получаем:
- \( y = \pm \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{15}}{10}} \)
- \( y = \pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{15}}{10}} \)
Эти выражения дают комплексные значения \( y \).
Таким образом, уравнение \( 5y^4 - 5y^2 + 2 = 0 \) имеет четыре комплексных решения, которые выражаются через квадратные корни из комплексных чисел.
