180. Найдите наименьшее общее кратное чисел а и в, если: a) a = 2•2•3•5•5 b = 2•3•3•3•5; 6) a = 3•3•7•7 и b = 2•3•3•5•7•7, в) a = 2•2•5•5•11 и b = 2•2•3•5•11; r) a = 2•5•5•7 b = 2•2•5•5•7.
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел, нужно учитывать их разложения на множители. НОК определяется путем взятия всех различных простых множителей из разложений, причем каждый множитель берется в той степени, в которой он встречается в этих разложениях.
Теперь давайте рассмотрим каждый случай отдельно.
a)
\( a = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \)
\( b = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \)
Теперь берем максимальные степени каждого простого множителя:
- \( 2^{\max(2, 1)} = 2^2 \)
- \( 3^{\max(1, 3)} = 3^3 \)
- \( 5^{\max(2, 1)} = 5^2 \)
Таким образом, НОК будет: \[ НОК(a, b) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 27 \cdot 25 = 2700. \]
б)
\( a = 3^2 \cdot 7^2 \)
\( b = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^2 \)
Максимальные степени:
- \( 2^{\max(0, 1)} = 2^1 \)
- \( 3^{\max(2, 2)} = 3^2 \)
- \( 5^{\max(0, 1)} = 5^1 \)
- \( 7^{\max(2, 2)} = 7^2 \)
Таким образом, НОК будет: \[ НОК(a, b) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^2 = 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 49 = 4410. \]
в)
\( a = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 11^1 \)
\( b = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 11^1 \)
Максимальные степени:
- \( 2^{\max(2, 2)} = 2^2 \)
- \( 3^{\max(0, 1)} = 3^1 \)
- \( 5^{\max(2, 1)} = 5^2 \)
- \( 11^{\max(1, 1)} = 11^1 \)
Таким образом, НОК будет: \[ НОК(a, b) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 11^1 = 4 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 11 = 3300. \]
г)
\( a = 2^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \)
\( b = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \)
Максимальные степени:
- \( 2^{\max(1, 2)} = 2^2 \)
- \( 5^{\max(2, 2)} = 5^2 \)
- \( 7^{\max(1, 1)} = 7^1 \)
Таким образом, НОК будет: \[ НОК(a, b) = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 4 \cdot 25 \cdot 7 = 700. \]
Таким образом, для всех случаев мы нашли НОК:
а) 2700
б) 4410
в) 3300
г) 700
