грамматическая основа Греки чувствовали себя единой нацией лишь в период общей опасности, когда надо было совместно выступать против внешнего врага, и во время общегреческих…

Грамматическая основа предложения — это главные члены, то есть подлежащее и сказуемое.

В вашем предложении "Греки чувствовали себя единой нацией лишь в период общей опасности, когда надо было совместно выступать против внешнего врага, и во время общегреческих спортивных состязаний" подлежащее — "Греки", а сказуемое — "чувствовали себя единой нацией".

Если у вас есть дополнительные вопросы о грамматике или других аспектах русского языка, не стесняйтесь задавать их!