Cos2x+sin2x=1 Найти все корни данного уравнения на промежутке [5П/2;4П]

Для решения уравнения \( \cos(2x) + \sin(2x) = 1 \) сначала преобразуем его.

Мы знаем, что \( \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 \). Таким образом, можно записать:

\[ \cos(2x) + \sin(2x) = 1 \implies \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 \implies 0 = 1 - \sin(2x) - \cos(2x) \]

Для упрощения, вспомним, что \( \cos(2x) + \sin(2x) \) можно записать как:

\[ \sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4}) = 1 \]

Это уравнение приводит нас к следующему:

\[ \sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Где \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) соответствует углам \( 45^\circ \) (или \( \frac{\pi}{4} \)) и \( 225^\circ \) (или \( \frac{5\pi}{4} \)), поэтому:

\[ 2x + \frac{\pi}{4} = n\pi + \frac{\pi}{4} \quad \text{или} \quad 2x + \frac{\pi}{4} = n\pi + \frac{5\pi}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Подставляем оба случая:

1. \( 2x + \frac{\pi}{4} = n\pi + \frac{\pi}{4} \) \[ 2x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2} \]

2. \( 2x + \frac{\pi}{4} = n\pi + \frac{5\pi}{4} \) \[ 2x = n\pi + \pi \implies x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \]

Теперь определим \( x \) для \( n = 0, 1, 2, \ldots \):

Первый случай ( \( x = \frac{n\pi}{2} \) ):

• Для \( n = 0: x = 0 \)
• Для \( n = 1: x = \frac{\pi}{2} \)
• Для \( n = 2: x = \pi \)
• Для \( n = 3: x = \frac{3\pi}{2} \)
• Для \( n = 4: x = 2\pi \)
• Для \( n = 5: x = \frac{5\pi}{2} \)
• Для \( n = 6: x = 3\pi \)
• Для \( n = 7: x = \frac{7\pi}{2} \)
• Для \( n = 8: x = 4\pi \)

Следовательно, по первому случаю на промежутке \([ \frac{5\pi}{2}, 4\pi ]\) получаем:

\[ x = \frac{5\pi}{2}, \, 3\pi, \, \frac{7\pi}{2}, \, 4\pi \]

Второй случай ( \( x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \) ):

• Для \( n = 0: x = \frac{\pi}{2} \)
• Для \( n = 1: x = \frac{3\pi}{2} \)
• Для \( n = 2: x = \frac{5\pi}{2} \)
• Для \( n = 3: x = \frac{7\pi}{2} \)
• Для \( n = 4: x = \frac{9\pi}{2} = 4.5\pi \) (не подходит)

На промежутке \([5\pi/2, 4\pi]\) мы получаем:

\[ x = \frac{5\pi}{2}, \, \frac{7\pi}{2} \]

Соберем вместе все корни. Итоговые корни уравнения на промежутке \([5\pi/2; 4\pi]\):

\[ x = \frac{5\pi}{2}, \, 3\pi, \, \frac{7\pi}{2}, \, 4\pi \]