sin(5x-7π/9)=-√2/2
Для решения уравнения \( \sin(5x - \frac{7\pi}{9}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) необходимо помнить, что синус принимает значение \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) в определенных углах.
Сначала определим углы, для которых синус равен \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Это происходит в следующих точках:
- \( \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \), где \( k \) — любое целое число (для четвертого квадранта).
- \( \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \) (для третьего квадранта).
Теперь запишем уравнение для каждого из этих случаев:
- \( 5x - \frac{7\pi}{9} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \)
- \( 5x - \frac{7\pi}{9} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \)
Теперь решим каждое уравнение для \( x \).
Для первого уравнения: \[ 5x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi + \frac{7\pi}{9} \] Сложим углы: Чтобы это сделать, нужно привести дроби к общему знаменателю (36): \[ = \frac{63\pi}{36} + \frac{28\pi}{36} + 2k\pi \] \[ = \frac{91\pi}{36} + 2k\pi \] Теперь разделим на 5: \[ x = \frac{91\pi}{180} + \frac{2k\pi}{5} \]
Для второго уравнения: \[ 5x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi + \frac{7\pi}{9} \] Сложим углы: \[ = \frac{45\pi}{36} + \frac{28\pi}{36} + 2k\pi \] \[ = \frac{73\pi}{36} + 2k\pi \] Теперь разделим на 5: \[ x = \frac{73\pi}{180} + \frac{2k\pi}{5} \]
Итак, конечный ответ:
\( x = \frac{91\pi}{180} + \frac{2k\pi}{5} \) и \( x = \frac{73\pi}{180} + \frac{2k\pi}{5} \), где \( k \) — любое целое число.
