z1=3-2i, z2=-2+5i, реши уравнения z1+z2, z1-z2, z1*z2, z1:z2, z1 в 3 степени.
Давайте разберем заданные операции с комплексными числами \( z_1 = 3 - 2i \) и \( z_2 = -2 + 5i \).
Сложение \( z_1 + z_2 \): \[ z_1 + z_2 = (3 - 2i) + (-2 + 5i) = (3 - 2) + (-2i + 5i) = 1 + 3i \]
Вычитание \( z_1 - z_2 \): \[ z_1 - z_2 = (3 - 2i) - (-2 + 5i) = (3 + 2) + (-2i - 5i) = 5 - 7i \]
Умножение \( z_1 * z_2 \): Используем формулу \((a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2\), где \(i^2 = -1\): \[ z_1 * z_2 = (3 - 2i)(-2 + 5i) = 3 \cdot (-2) + 3 \cdot 5i - 2i \cdot (-2) - 2i \cdot 5i \] Вычислим по очереди: \[ = -6 + 15i + 4i - 10(-1) = -6 + 19i + 10 = 4 + 19i \]
Деление \( z_1 : z_2 \): Для деления комплексных чисел используем сопряженное: \[ z_1 : z_2 = \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 - 2i}{-2 + 5i} \] Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное к \( z_2 \): \[ = \frac{(3 - 2i)(-2 - 5i)}{(-2 + 5i)(-2 - 5i)} \] Сначала найдем знаменатель: \[ (-2 + 5i)(-2 - 5i) = (-2)^2 + (5i)^2 = 4 + 25 = 29 \] Теперь с числителем: \[ (3 - 2i)(-2 - 5i) = 3 \cdot (-2) + 3 \cdot (-5i) - 2i \cdot (-2) - 2i \cdot (-5i) \] \[ = -6 - 15i + 4i + 10 = -6 - 11i + 10 = 4 - 11i \] Таким образом: \[ z_1 : z_2 = \frac{4 - 11i}{29} = \frac{4}{29} - \frac{11}{29}i \]
Возведение в третью степень \( z_1^3 \): Можно использовать формулу бинома: \[ (a + bi)^3 = a^3 + 3a^2(bi) + 3a(bi)^2 + (bi)^3 \] где \( a = 3, b = -2 \): \[ = 3^3 + 3 \cdot 3^2(-2i) + 3 \cdot 3(-2i)^2 + (-2i)^3 \] Вычисления: \[ = 27 + 3 \cdot 9(-2i) + 3 \cdot 3(-4) + -8i \] \[ = 27 - 54i - 36 - 8i = (27 - 36) + (-54 - 8)i = -9 - 62i \]
Итак, результаты:
- \( z_1 + z_2 = 1 + 3i \)
- \( z_1 - z_2 = 5 - 7i \)
- \( z_1 * z_2 = 4 + 19i \)
- \( z_1 : z_2 = \frac{4}{29} - \frac{11}{29}i \)
- \( z_1^3 = -9 - 62i \)
Если у вас есть дополнительные вопросы по этим операциям или необходимы дальнейшие разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!
