На какой высоте над поверхностью земли сила тяжести будет в 3 раза меньше, чем на земле

Чтобы определить, на какой высоте над поверхностью Земли сила тяжести будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли, мы можем использовать закон всемирного тяготения. Сила тяжести на поверхности Земли можно выразить как:

\[ g = \frac{G \cdot M}{R^2} \]

где:

• \( g \) — ускорение свободного падения на поверхности Земли (примерно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)),
• \( G \) — гравитационная постоянная,
• \( M \) — масса Земли,
• \( R \) — радиус Земли (примерно \( 6,371 \, \text{км} \)).

Когда мы поднимаемся на высоту \( h \), ускорение свободного падения уменьшится по следующей формуле:

\[ g_h = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2} \]

Для нашей задачи нам нужно, чтобы:

\[ g_h = \frac{g}{3} \]

Подставляем:

\[ \frac{G \cdot M}{(R + h)^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{G \cdot M}{R^2} \]

Упрощаем уравнение, сокращая \( G \cdot M \) с обеих сторон:

\[ \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{3R^2} \]

Теперь перемножим обе стороны на \( 3R^2(R + h)^2 \):

\[ 3R^2 = (R + h)^2 \]

Раскроем квадрат:

\[ 3R^2 = R^2 + 2Rh + h^2 \]

Переносим все в одну сторону:

\[ 0 = h^2 + 2Rh - 2R^2 \]

Это квадратное уравнение относительно \( h \). Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

\[ h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1, b = 2R, c = -2R^2 \). Подставляем значения:

\[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{(2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2R^2)}}{2 \cdot 1} \] \[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^2 + 8R^2}}{2} \] \[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{12R^2}}{2} \] \[ h = \frac{-2R \pm 2R\sqrt{3}}{2} \] \[ h = -R + R\sqrt{3} \]

Принимаем положительное значение:

\[ h = R(\sqrt{3} - 1) \]

Теперь подставим радиус Земли (принимая \( R \approx 6,371 \, \text{км} \)):

\[ h \approx 6,371 \cdot (\sqrt{3} - 1) \approx 6,371 \cdot (1.732 - 1) \approx 6,371 \cdot 0.732 \approx 4,659 \, \text{км} \]

Таким образом, высота, на которой сила тяжести будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли, составляет примерно 4,659 километров.