2x ⁴-17x²-9
Чтобы решить уравнение \(2x^4 - 17x^2 - 9 = 0\), можно сделать подстановку. Давайте введем новую переменную: \(y = x^2\). Таким образом, уравнение преобразуется в:
\[2y^2 - 17y - 9 = 0.\]
Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \(y\), и его можно решить с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле:
\[D = b^2 - 4ac,\]
где \(a = 2\), \(b = -17\), \(c = -9\).
Подставим значения в формулу:
\[D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 289 + 72 = 361.\]
Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Находим корни по формуле:
\[y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]
Подставим значения:
\[y = \frac{-(-17) \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{17 \pm 19}{4}.\]
Теперь решим:
- \(y_1 = \frac{17 + 19}{4} = \frac{36}{4} = 9,\)
- \(y_2 = \frac{17 - 19}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}.\)
Теперь мы возвращаемся к переменной \(x^2\):
- \(x^2 = 9 \rightarrow x = 3 \text{ или } x = -3,\)
- \(x^2 = -\frac{1}{2} \rightarrow \text{нет действительных решений, так как } x^2 \text{ не может быть отрицательным.}\)
Таким образом, единственные действительные решения уравнения \(2x^4 - 17x^2 - 9 = 0\) — это \(x = 3\) и \(x = -3\).
