6¹²×(6³)⁵ _________ (6⁵)⁴×6⁴ 25⁴×125¹⁰ __________ 5³⁷

Давайте последовательно решим оба выражения.

Первое выражение: \[ \frac{6^{12} \times (6^3)^5}{(6^5)^4 \times 6^4} \]

Сначала упростим каждую часть.

1. В числителе:

   • Используем правило степеней: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\), получим: \((6^3)^5 = 6^{3 \cdot 5} = 6^{15}\).
   • Теперь числитель: \(6^{12} \times 6^{15} = 6^{12 + 15} = 6^{27}\).

2. В знаменателе:

   • Аналогично, \((6^5)^4 = 6^{5 \cdot 4} = 6^{20}\).
   • Получаем: \(6^{20} \times 6^4 = 6^{20 + 4} = 6^{24}\).

Теперь подставим это обратно в выражение: \[ \frac{6^{27}}{6^{24}} = 6^{27 - 24} = 6^3. \]

Таким образом, первое выражение равно \(6^3\).

Второе выражение: \[ \frac{25^4 \times 125^{10}}{5^{37}} \]

Сначала преобразуем \(25\) и \(125\) в степени числа \(5\):

• \(25 = 5^2\), значит \(25^4 = (5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8\).
• \(125 = 5^3\), значит \(125^{10} = (5^3)^{10} = 5^{3 \cdot 10} = 5^{30}\).

Теперь соберем это в одно выражение: \[ \frac{5^8 \times 5^{30}}{5^{37}}. \] Снова применим правила степеней: \[ 5^8 \times 5^{30} = 5^{8 + 30} = 5^{38}. \] Теперь имеем: \[ \frac{5^{38}}{5^{37}} = 5^{38 - 37} = 5^1 = 5. \]

Таким образом, второе выражение равно \(5\).

Итак, окончательные ответы:

1. Первое выражение равно \(6^3\).
2. Второе выражение равно \(5\).