Лодка прошла 4 км по течению и 1 км против течения за 20 минут. найти собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч
Чтобы найти собственную скорость лодки, начнём с определения некоторых переменных.
Обозначим:
- \( v_b \) — собственная скорость лодки (км/ч)
- \( v_t \) — скорость течения реки, которая равна 2 км/ч
Когда лодка движется по течению, её скорость равна \( v_b + v_t \), то есть \( v_b + 2 \) км/ч. Когда лодка движется против течения, её скорость равна \( v_b - v_t \), то есть \( v_b - 2 \) км/ч.
Сначала определим время, затраченное на каждую часть пути:
Лодка прошла 4 км по течению: \[ t_1 = \frac{4}{v_b + 2} \]
Лодка прошла 1 км против течения: \[ t_2 = \frac{1}{v_b - 2} \]
Суммарное время путешествия составило 20 минут, что в часах равно \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) часа. Таким образом, можем записать уравнение: \[ t_1 + t_2 = \frac{1}{3} \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{4}{v_b + 2} + \frac{1}{v_b - 2} = \frac{1}{3} \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на \( 3(v_b + 2)(v_b - 2) \) для избавления от знаменателей: \[ 3 \cdot 4(v_b - 2) + 3 \cdot 1(v_b + 2) = (v_b + 2)(v_b - 2) \] Упростим: \[ 12(v_b - 2) + 3(v_b + 2) = v_b^2 - 4 \] \[ 12v_b - 24 + 3v_b + 6 = v_b^2 - 4 \] \[ 15v_b - 18 = v_b^2 - 4 \] Переносим все в одну сторону: \[ v_b^2 - 15v_b + 14 = 0 \]
Это квадратное уравнение, которое можно решить по формуле: \[ v_b = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 56}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{15 \pm 13}{2} \]
Получаем два возможных значения:
- \( v_b = \frac{28}{2} = 14 \) км/ч
- \( v_b = \frac{2}{2} = 1 \) км/ч
Так как скорость лодки не может быть меньше скорости течения (2 км/ч), мы принимаем только худший вариант. Следовательно, собственная скорость лодки равна 14 км/ч.
Ответ: собственная скорость лодки составляет 14 км/ч.
