x²-4x+3≤0
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 4x + 3 \leq 0 \), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).
Найдем корни уравнения: Для этого воспользуемся формулой для дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь, \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \). Подставим значения: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Находим корни: Дискриминант положителен (\( D > 0 \)), значит, у уравнения два различных корня. Используем формулу корней: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим известные значения: \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2} \] Это дает нам: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
Построим интервалы: Теперь мы имеем корни \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 3 \). Разделим числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Проверка знака в интервалах: Теперь, используя любое значение из каждого интервала, проверим знак квадратичной функции:
Для интервала \( (-\infty, 1) \): Возьмем, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3 > 0 \]
Для интервала \( (1, 3) \): Возьмем, например, \( x = 2 \): \[ 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0 \]
Для интервала \( (3, +\infty) \): Возьмем, например, \( x = 4 \): \[ 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0 \]
Соберем результаты: Мы получили следующие знаки в интервалах:
- \( (-\infty, 1) \): положительное
- \( (1, 3) \): отрицательное
- \( (3, +\infty) \): положительное
Неравенство \( x^2 - 4x + 3 \leq 0 \) выполняется в интервале \( [1, 3] \) (включая границы, так как у нас неравенство "меньше или равно").
Таким образом, решение неравенства \( x^2 - 4x + 3 \leq 0 \) будет: \[ x \in [1, 3] \]
