при каких значениях переменной выполняется равенство: 1)√x²-2x+2=x-1 2)√a²-6a+9=3-a 3)√y⁴+4y²+4=y²+2

Давайте решим каждое из ваших уравнений по порядку.

1. Уравнение: \( \sqrt{x^2 - 2x + 2} = x - 1 \)

   Сначала упростим выражение под корнем. Подкоренное выражение можно записать как: \( x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 \).

   Таким образом, уравнение перепишется как: \( \sqrt{(x - 1)^2 + 1} = x - 1 \).

   Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны в квадрат: \( (x - 1)^2 + 1 = (x - 1)^2 \).

   Упростим: \( (x - 1)^2 + 1 - (x - 1)^2 = 0 \)

   Получается: \( 1 = 0 \), что невозможно. Это уравнение не имеет решений.

2. Уравнение: \( \sqrt{a^2 - 6a + 9} = 3 - a \)

   Заметим, что подкоренное выражение можно упростить: \( a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2 \).

   Теперь уравнение становится: \( \sqrt{(a - 3)^2} = 3 - a \).

   Так как корень из квадратного числа равен модулю, получаем два случая:

   1. \( a - 3 = 3 - a \)
   2. \( a - 3 = - (3 - a) \)

   Рассмотрим первый случай: \( a - 3 = 3 - a \) \( 2a = 6 \) \( a = 3 \).

   Второй случай: \( a - 3 = -3 + a \) Это также приводит к противоречию \( 0 = 0 \), что означает, что любое значение \( a \) в этом случае решает уравнение.

   Подводя итог, \( a = 3 \) — единственное значение, которое удовлетворяет данному уравнению.

3. Уравнение: \( \sqrt{y^4 + 4y^2 + 4} = y^2 + 2 \)

   Упрощаем подкоренное выражение: \( y^4 + 4y^2 + 4 = (y^2 + 2)^2 \).

   Таким образом, уравнение становится: \( \sqrt{(y^2 + 2)^2} = y^2 + 2 \).

   Так как корень из квадратного числа равен модулю в данном случае, мы имеем: \( |y^2 + 2| = y^2 + 2 \).

   Поскольку \( y^2 + 2 \) всегда больше или равно 2 (для всех действительных \( y \)), уравнение выполняется для любого значения \( y \).

Итак, подводя итоги:

1. Первое уравнение не имеет решений.
2. Второе уравнение имеет одно решение \( a = 3 \).
3. Третье уравнение выполняется для любого действительного значения \( y \).