треугольник ABC AB / BC = 3 / 5 угол B равен 120° периметр равен 45 см Найти AC

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться законами синусов и косинусов, а также соотношениями сторон треугольника.

Дано:

• Стороны треугольника ABC: \( \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} \).
• Угол \( B = 120^\circ \).
• Периметр \( P = AB + BC + AC = 45 \, см \).

Обозначим:

• \( AB = 3k \)
• \( BC = 5k \)
• \( AC = x \)

Теперь запишем уравнение для периметра: \[ 3k + 5k + x = 45 \] Отсюда: \[ 8k + x = 45 \]

Теперь найдем значение \( AC \) с помощью закона косинусов: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B) \] Подставим известные значения: \[ AC^2 = (3k)^2 + (5k)^2 - 2 \cdot (3k) \cdot (5k) \cdot \cos(120^\circ) \] Зная, что \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), получим: \[ AC^2 = 9k^2 + 25k^2 + 15k^2 \] Преобразуем: \[ AC^2 = 49k^2 = (7k)^2 \] Следовательно: \[ AC = 7k. \]

Теперь заменим \( x \) в уравнении периметра: \[ 8k + 7k = 45 \Rightarrow 15k = 45 \Rightarrow k = 3. \]

Таким образом, найдём \( AC \): \[ AC = 7k = 7 \cdot 3 = 21 \, см. \]

Итак, длина стороны \( AC \) равна 21 см.