Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Для решения задачи начнем с того, что в прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°. Это значит, что второй острый угол равен 30°, так как сумма всех углов треугольника равна 180°.

Обозначим:

• \( a \) — меньший катет (противоположный углу в 30°),
• \( b \) — больший катет (противоположный углу в 60°),
• \( c \) — гипотенуза.

Согласно свойствам прямоугольного треугольника с углами 30° и 60°, мы знаем, что соотношение катетов и гипотенузы выглядит так:

\[ c = 2a \]

и

\[ b = a\sqrt{3} \]

Также известно, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см:

\[ c + a = 18 \]

Теперь подставим \( c = 2a \) в это уравнение:

\[ 2a + a = 18 \]

Сложим:

\[ 3a = 18 \]

Теперь найдем \( a \):

\[ a = \frac{18}{3} = 6 \text{ см} \]

Теперь, зная меньший катет \( a \), найдем гипотенузу \( c \):

\[ c = 2a = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см} \]

Таким образом, мы получили:

• Меньший катет \( a = 6 \) см,
• Гипотенуза \( c = 12 \) см.

Ответ: гипотенуза равна 12 см, меньший катет равен 6 см.