Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 60°, второй острый угол будет равен 30° (так как сумма всех углов в треугольнике равна 180°, а один угол — прямой и равен 90°). Обозначим стороны треугольника следующим образом:
- Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу, обозначим ее как \( c \).
- Меньший катет (противолежащий углу 30°) — обозначим как \( a \).
- Больший катет (противолежащий углу 60°) — обозначим как \( b \).
Согласно свойствам треугольников с углами 30° и 60°, мы знаем, что:
Меньший катет \( a \) равен половине гипотенузы: \[ a = \frac{c}{2} \]
Больший катет \( b \) можно найти по формуле: \[ b = \frac{c \sqrt{3}}{2} \]
Мы знаем, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см: \[ c + a = 18 \]
Подставим значение \( a \) из первого уравнения: \[ c + \frac{c}{2} = 18 \]
Объединим дроби: \[ \frac{2c}{2} + \frac{c}{2} = 18 \] \[ \frac{3c}{2} = 18 \]
Теперь умножим обе стороны на 2: \[ 3c = 36 \]
Разделим обе стороны на 3: \[ c = 12 \]
Теперь мы можем найти меньший катет \( a \): \[ a = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
Таким образом, гипотенуза \( c \) составляет 12 см, а меньший катет \( a \) — 6 см.
В ответе:
- Гипотенуза: 12 см
- Меньший катет: 6 см
