Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет. с рисунком
Следует отметить, что задача о нахождении гипотенузы и меньшего катета в прямоугольном треугольнике может быть решена с помощью тригонометрии и свойств прямоугольных треугольников.
Пусть:
- Гипотенуза \( c \)
- Меньший катет \( a \)
- Больший катет \( b \)
Из условия задачи:
- Угол \( A = 60^\circ \)
- Сумма гипотенузы и меньшего катета: \( c + a = 18 \)
В прямоугольном треугольнике с углом \( 60^\circ \) можно записать соотношения между сторонами через тригонометрические функции:
- \( \sin(60^\circ) = \frac{b}{c} \)
- \( \cos(60^\circ) = \frac{a}{c} \)
Зная, что \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), мы можем записать:
\[ a = c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2} \]
\[ b = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Подставим выражение для \( a \) в уравнение \( c + a = 18 \):
\[ c + \frac{c}{2} = 18 \]
Объединив подобные члены, получаем:
\[ \frac{3c}{2} = 18 \]
Умножаем обе стороны на 2:
\[ 3c = 36 \]
Делим на 3:
\[ c = 12 \text{ см} \]
Теперь подставим значение \( c \) обратно, чтобы найти \( a \):
\[ a = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} \]
Теперь мы имеем все необходимые значения:
- Гипотенуза \( c = 12 \text{ см} \)
- Меньший катет \( a = 6 \text{ см} \)
Для визуализации задачи можно представить рисунок прямоугольного треугольника, где угол \( C \) равен \( 90^\circ \), угол \( A = 60^\circ \), а угол \( B = 30^\circ \) (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°). Гипотенуза будет находиться напротив угла \( C \) и равна 12 см, а меньший катет (прилежащий к углу 60°) имеет длину 6 см.
Таким образом, решение задачи завершено! Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.
