В данном предложении действительно необходимо поставить запятую. Правильный вариант: "В парке легко дышалось, и птицы вовсю возились в листве."
Теперь давайте сделаем синтаксический разбор предложения:
"В парке" – обстоятельственное выражение, указывающее на место (обстоятельство).
- "в" – предлог;
- "парке" – существительное в местном падеже.
"легко дышалось" – составное глагольное сказуемое.
- "легко" – обстоятельство, указывающее на способ (обстоятельство);
- "дышалось" – глагол в прошедшем времени, форма безличного сказуемого.
"и" – союз, соединяющий две части сложносочиненного предложения.
"птицы" – подлежащее, выраженное существительным во множественном числе.
"вовсю возились" – составное сказуемое.
- "вовсю" – обстоятельство, указывающее на степень или меру (обстоятельство);
- "возились" – глагол в прошедшем времени, указывающий на действие.
"в листве" – обстоятельственное выражение, указывающее на место.
- "в" – предлог;
- "листве" – существительное в местном падеже.
Таким образом, данное предложение состоит из двух частей, связанных союзом "и", и каждую из них можно разобрать отдельно. Если вам нужно больше примеров или подробностей по синтаксическому разбору, дайте знать!