В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь диагонального сечения…

Для решения задачи найдем сначала высоту прямоугольного параллелепипеда, используя заданный угол между диагональю и плоскостью основания.

1. Определим диагональ основания. Основание прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником со сторонами 12 см и 5 см. Диагональ \(d\) основания можно найти по формуле:

   \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}. \]

2. Обозначим высоту параллелепипеда через \(h\). Диагональ параллелепипеда \(D\) можно найти по формуле:

   \[ D = \sqrt{d^2 + h^2}. \]

   С учетом того, что угол между диагональю и плоскостью основания равен 45°, можем сказать, что в этом случае диагональ образует прямоугольный треугольник с основаниями, где высота \(h\) равна диагонали основания \(d\). Это следует из тригонометрии:

   \[ \tan(45°) = \frac{h}{d} \implies h = d. \]

   Таким образом, \(h = d = 13 \text{ см}\).

3. Теперь найдем площадь диагонального сечения. Диагональное сечение параллелепипеда представляет собой треугольник, вершин которого находятся на трех гранях параллелепипеда.

   Площадь треугольника \(S\) можно найти по формуле:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, \]

   где \(a\) и \(b\) — это основания треугольника, равные длине и ширине основания параллелепипеда (12 см и 5 см).

   Подставим значения:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \text{ см}^2. \]

Таким образом, площадь диагонального сечения параллелепипеда равна 30 см².