√х+3<х+1

Давайте решим неравенство \(\sqrt{x} + 3 < x + 1\) шаг за шагом.

1. Сначала упростим неравенство: \[ \sqrt{x} + 3 < x + 1 \] Выразим \(\sqrt{x}\): \[ \sqrt{x} < x + 1 - 3 \] Это упрощается до: \[ \sqrt{x} < x - 2 \]

2. Теперь мы возведем обе стороны в квадрат, помня, что это может изменить направление неравенства, если мы не уверены, что обе стороны положительны: \[ x < (x - 2)^2 \] Раскроем скобки: \[ x < x^2 - 4x + 4 \] Переносим все в одну сторону: \[ 0 < x^2 - 5x + 4 \] или \[ x^2 - 5x + 4 > 0 \]

3. Чтобы решить квадратное неравенство, найдем корни уравнения \(x^2 - 5x + 4 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \] Корни: \[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \]

4. Теперь мы имеем два корня: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = 1\). Мы можем разложить это неравенство: \[ (x - 1)(x - 4) > 0 \]

5. Неравенство будет выполняться, когда переменная \(x\) лежит либо слева от \(1\) (\(-\infty < x < 1\)), либо справа от \(4\) (\(x > 4\)).

6. Однако, поскольку в начале у нас было выражение \(\sqrt{x}\), необходимо убедиться, что \(x\) неотрицательно. Поэтому, мы учтем ограничение \(x \geq 0\).

Таким образом, окончательный ответ: \[ x < 1 \quad \text{или} \quad x > 4 \] то есть решение будет: \[ (-\infty, 1) \cup (4, +\infty) \]

Если у вас возникли дополнительные вопросы или нужна помощь с другой темой, не стесняйтесь спрашивать!