На кружок по географии записались шестиклассники, семиклассники и восьмиклассники, всего 31 человек. Среди записавшихся на кружок 9 шестиклассников, а количество семиклассников относится к количеству восьмиклассников как 7 : 4 соответственно. Сколько семиклассников записалось на кружок по географии?

Давайте решим эту задачу вместе. У нас есть три группы учащихся: шестиклассники, семиклассники и восьмиклассники, всего 31 человек. Известно, что среди записавшихся 9 шестиклассников. Пусть количество семиклассников обозначим как \(x\), а количество восьмиклассников – как \(y\).

Согласно условию, дано, что отношение количества семиклассников к количеству восьмиклассников составляет 7 к 4. Это можно записать в виде следующего уравнения:

\[ \frac{x}{y} = \frac{7}{4} \]

Из этого уравнения мы можем выразить количество семиклассников через количество восьмиклассников:

\[ x = \frac{7}{4}y \]

Теперь у нас есть ещё одно уравнение: общее количество учащихся равно 31. То есть:

\[ 9 + x + y = 31 \]

Теперь подставим \(x\) в это уравнение:

\[ 9 + \frac{7}{4}y + y = 31 \]

Чтобы объединить термины, сначала приведем \(y\) к общему знаменателю:

\[ 9 + \frac{7}{4}y + \frac{4}{4}y = 31 \]

Сведем подобные термины:

\[ 9 + \frac{11}{4}y = 31 \]

Теперь вычтем 9 из обеих сторон:

\[ \frac{11}{4}y = 22 \]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[ 11y = 88 \]

Теперь делим обе стороны на 11:

\[ y = 8 \]

Теперь, зная количество восьмиклассников, можем найти количество семиклассников, подставив значение \(y\) обратно в уравнение для \(x\):

\[ x = \frac{7}{4}y = \frac{7}{4} \times 8 = 14 \]

Таким образом, количество семиклассников, записавшихся на кружок по географии, составляет 14 человек.