На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точ-ки Р и Q так, что РВ= QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырёхугольник APCQ является параллелограммом, нам нужно показать, что его противоположные стороны равны и параллельны.

Итак, давайте обозначим следующее:

• Давайте обозначим векторы:

  • \( \vec{A} = \overrightarrow{A} \)
  • \( \vec{B} = \overrightarrow{B} \)
  • \( \vec{C} = \overrightarrow{C} \)
  • \( \vec{D} = \overrightarrow{D} \)
  • Параллелограмм ABCD, тогда \( \vec{D} = \vec{A} + \vec{B} - \vec{C} \).

• Запишем векторные представления точек P и Q:

  • Пусть \( \vec{P} \) и \( \vec{Q} \) - это точки на диагонали BD.
  • Поскольку точки P и Q лежат на отрезке BD, мы можем записать: \[ \vec{P} = (1-t) \vec{B} + t \vec{D} \] \[ \vec{Q} = (1-s) \vec{D} + s \vec{B} \] для некоторыми \( t, s \in [0, 1] \).

Поскольку по условию \( RB = QD \), мы можем записать: \[ \|\overrightarrow{PB}\| = \|\overrightarrow{QD}\| \]

Теперь найдем векторы:

• Вектор \( \overrightarrow{AP} \): \[ \overrightarrow{AP} = \vec{P} - \vec{A} = \left( (1-t) \vec{B} + t \vec{D} \right) - \vec{A} \]

• Вектор \( \overrightarrow{CQ} \): \[ \overrightarrow{CQ} = \vec{Q} - \vec{C} = \left( (1-s) \vec{D} + s \vec{B} \right) - \vec{C} \]

Доказательства противоположные стороны равны можно будет окончательно завершить если мы покажем, что \[ \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{QA}. \]

Таким образом, векторы \( \overrightarrow{AP} \) и \( \overrightarrow{CQ} \), а также векторы \( \overrightarrow{PC} \) и \( \overrightarrow{QA} \) равны и параллельны. Это значит, что четырехугольник APCQ является параллелограммом.

В итоге, используя свойства параллелограмма и равенство отрезков, мы можем заключить, что APCQ - параллелограмм.