Консервный комбинат расфасовывает свою продукцию в цилиндрические жестяные банки различных размеров, которые заказывает на заводе «Жестеупаковка». Банка № 1 имеет внутренний диаметр 70 мм и высоту 95 мм. Банка № 2 имеет размеры 84 мм и 88 мм соответственно. Так как технология изготовления банок стандартизирована, их стоимость определяется только расходом материала (жести), т.е. пропорциональна площади поверхности банки. Чтобы добиться максимальной прибыли, комбинат предпочитает заказывать банки, в которых отношение объёма к стоимости является наибольшим. Какую двух банок комбинат закажет на заводе? В ответе укажите отношение объёма к площади поверхности для наиболее выгодной банки. Решение.

Чтобы решить задачу о выборе наиболее выгодной банки, давайте начнем с формулирования необходимых формул для объема и площади поверхности цилиндрической банки.

Для цилиндра (в данном случае банки) объем \( V \) и площадь поверхности \( S \) вычисляются по следующим формулам:

1. Объем: \[ V = \pi r^2 h \] где \( r \) — радиус, \( h \) — высота.

2. Площадь поверхности: \[ S = 2\pi r(h + r) \]

Зная диаметр, мы можем найти радиус \( r \) как половину диаметра.

Теперь вычислим объем и площадь поверхности для каждой банки.

Банка № 1:

• Диаметр: 70 мм, следовательно, радиус \( r_1 = \frac{70}{2} = 35 \) мм.
• Высота: 95 мм.

Объем: \[ V_1 = \pi (35)^2 (95) = \pi \cdot 1225 \cdot 95 \approx 36558.09 \text{ мм}^3 \]

Площадь поверхности: \[ S_1 = 2\pi (35)(95 + 35) = 2\pi (35)(130) \approx 2\pi \cdot 4550 \approx 28554.44 \text{ мм}^2 \]

Теперь рассчитаем отношение объема к площади поверхности для банки № 1: \[ \frac{V_1}{S_1} \approx \frac{36558.09}{28554.44} \approx 1.28 \]

Банка № 2:

• Диаметр: 84 мм, следовательно, радиус \( r_2 = \frac{84}{2} = 42 \) мм.
• Высота: 88 мм.

Объем: \[ V_2 = \pi (42)^2 (88) = \pi \cdot 1764 \cdot 88 \approx 49081.51 \text{ мм}^3 \]

Площадь поверхности: \[ S_2 = 2\pi (42)(88 + 42) = 2\pi (42)(130) \approx 2\pi \cdot 5460 \approx 34392.83 \text{ мм}^2 \]

Теперь рассчитаем отношение объема к площади поверхности для банки № 2: \[ \frac{V_2}{S_2} \approx \frac{49081.51}{34392.83} \approx 1.43 \]

Сравнение: Теперь сравним оба отношения:

• Для банки № 1: \( \frac{V_1}{S_1} \approx 1.28 \)
• Для банки № 2: \( \frac{V_2}{S_2} \approx 1.43 \)

На основании вычислений комбинат предпочтёт заказывать банку № 2, так как её отношение объема к площади поверхности является наибольшим.

Ответ: Комбинат закажет банку № 2. Отношение объема к площади поверхности для наиболее выгодной банки составляет примерно 1.43.