Что нужно выписать? проведём прямую а и отметим на ней точ- ку О (рис. 11). Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О (на…

Что нужно выписать? проведём прямую а и отметим на ней точ- ку О (рис. 11). Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О (на рисунке 11 один из лучей выделен цветной линией). Точка О назы- вается началом каждого из лучей. Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой (на- пример, луч һ на рисунке 12, а), либо двумя большими латинскими буквами, первая из кото- рых обозначает начало луча, а вторая - какую- нибудь точку на луче (например, луч ОА на ри- сунке 12, б). Напомним, что угол это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сто- ронами угла, а их общее начало - вершиной угла На рисунке 13 изображён угол с вершиной О и сторонами ћ и к. На сторонах отмечены точ ки А и В. Этот угол обозначают так: hk, или ∠AOB, или 20. Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. Можно сказать, что каждая сторона развёрнутого угла является продолжением другой стороны. На рисунке 14 изображён развёрнутый угол с вершиной С и сто ронами рид. Любой угол разделяет плоскость на две ча- сти. Если угол неразвёрнутый, то одна из частей называется внутренней, а другая внешней об- ластью этого угла (рис. 15, а). На рисунке 15, б изображён неразвёрнутый угол. Точки А, В, С лежат внутри этого угла (т. е. во внутренней об- ласти угла), точки Ди Е на сторонах угла, а точки Ри вне угла (т. е. во внешней об- ласти угла). Если угол развёрнутый, то любую из двух частей, на которые он разделяет плоскость, мож- но считать внутренней областью угла. Фигуру, состоящую из угла и его внутрен- ней области, также называют углом. Если луч исходит из вершины неразвёрну- того угла и проходит внутри угла, то он делит этот угол на два угла. На рисунке 16, а луч ОС делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Если угол АОВ развёрнутый, то любой луч ОС, не со- впадающий с лучами ОА И ОВ, делит этот угол на два угла: АОС и СОВ (рис.16 б) Что нужно выписать? Среди окружающих нас предметов встреча- ются такие, которые имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Например, два одинаковых листа бумаги, две одинаковые книги, два оди- наковых автомобиля. В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые раз- меры, называют равными. На рисунке 19 изображены фигуры Ф, и Ф. Чтобы установить, равны они или нет, поступим так. Скопируем фи гуру Ф, на кальку. Передвигая кальку и накладывая её на фигуру Ф, той или другой стороной, попытаемся совместить копию фигуры Ф, с фигурой Ф. Если они совместятся, то фигура Ф, равна фигуре Ф2. час Б час Мы можем представить себе, что на фи гуру Фа накладывается не копия фигуры Ф равная этой фигуре, а сама фигура Ф. Поэто- му в дальнейшем будем говорить о наложении самой фигуры (а не копии) на другую фигуру. Итак, две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложе- нием. 6 Сравнение отрезков и углов На рисунке 20, а изображены два отрез ка. Чтобы установить, равны они или нет, на- ложим один отрезок на другой так, чтобы конец одного отрезка совместился с концом другого (рис. 20, 6). Если при этом два других конца так- же совместятся, то отрезки полностью совместят- ся и, значит, они равны. Если же два других конца не совместятся, то меньшим считается тот отрезок, который составляет часть другого. На рисунке 20, в отрезок АС составляет часть отрез- ка АВ, поэтому отрезок АС меньше отрезка АВ (пишут так: АС <АВ). Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка, называется серединой отрез- ка. На рисунке 21 точка С середина отрезка АВ. На рисунке 22, а изображены неразвёрну- тые углы 1 и 2. Чтобы установить, равны они или нет, наложим один угол на другой так, что- бы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон (рис. 22, 6). Если две другие стороны также совместят- ся, то углы полностью совместятся и, значит, они равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого. На рисунке 22, б угол 1 составляет часть угла 2, поэтому 21<22. Неразвёрнутый угол составляет часть раз- вёрнутого угла (рис. 23), поэтому развёрнутый угол больше неразвёрнутого угла. Любые два развёрнутых угла, очевидно, равны. Луч, исходящий из вершины угла и деля- щий его на два равных угла, называется биссек- трисой угла. На рисунке 24 луч 1 биссектриса угла hk. Что нужно выписать? На практике часто приходится измерять отрезки, т. е. находить их длины. Измерение от- резков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его называют также масштабным отрезком). Если, например, за единицу измерения принят санти- метр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается санти- метр. На рисунке 27 в отрезке АВ сантиметр укла- дывается ровно два раза. Это означает, что длина отрезка АВ равна 2 см. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен 2 см и пишут: АВ = 2 см. А Может оказаться так, что отрезок, при- нятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке полу- чается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укла- дывается в остатке. Например, на рисунке 27 в отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза, и в остатке ровно 4 раза укладывается одна десятая часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина от- резка АС равна 3,4 см. Возможно, однако, что и взятая часть еди ницы измерения (в данном случае миллиметр) не укладывается и остатке целое число раз, и полу- чается новый остаток. Так будет, например, с от резком АД на рисунке 27. в котором сантиметр укладывается три раза с остатком, а в остатке миллиметр укладывается восемь раз вновь с остатком. В таком случае говорят, что длина от- резка AD приближенно равна 3,8 см. Для более точного измерения этого отрез- ка указанную часть единицы измерения (милли- метр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения. Мысленно этот процесс можно продолжать и дальше, измеряя длину отрезка со всё большей точностью. На практике, однако, пользуются приближёнными значениями длин отрезков. За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некото- рым положительным числом. Это число показы- вает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке. Если два отрезка равны, то единица изме- рения и её части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки име- ют равные длины. Если же один отрезок мень- ше другого, то единица измерения (или её часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет мень- шую длину. На рисунке 28 изображён отрезок АВ. Точ- ка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Мы видим, что АС=3 см, СВ=2,7 см, АВ = 5,7 см Таким образом, АС+СВАВ. Ясно, что и по всех других случаях, когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме ддии этих двух отрезков. Если длина отрезка CD вк раз больше дли ны отрезка АВ, то пишут CD = кАВ. Длина отрезка называется также расстоя ннем между концами этого отрезка. 8 Единицы измерения. Измерительные инструменты Для измерения отрезков и нахождения рас- стояний на практике используют различные еди- ницы измерения. Стандартной международной единицей измерения отрезков выбран метр - от- резок, приближённо равный 1 части земного меридиана. Эталон метра в виде специ- ального металлического бруска хранится в Меж- дународном бюро мер и весов во Франции. Копии эталона хранятся в других странах, в том числе и в России. Один метр содержит сто сантиметров. В одном сантиметре десять миллиметров. При измерении небольших расстояний, на- пример расстояния между точками, изображён- ными на листе бумаги, за единицу измерения принимают сантиметр или миллиметр. Расстоя- ние между отдельными предметами в комнате из- меряют в метрах, расстояние между населённы- ми пунктами в километрах. Используются и другие единицы измерения, например дециметр, морская миля (1 миля равна 1,852 км). В астро- номии для измерения очень больших расстояний за единицу измерения принимают световой год, т. е. путь, который свет проходит в течение од- ного года. Мы назвали единицы измерения расстоя- ний, которые используются на практике в наше время. В старину в разных странах существовали свои единицы измерения. Так, на Руси использо- вались аршин (0,7112 м), сажень (2,1336 м) и др. На практике для измерения расстояний пользуются различными инструментами. На- пример, в техническом черчении употребляется масштабная миллиметровая линейка. Для изме рения диаметра трубки используют штангенцир- куль (рис. 29). С его помощью можно измерять расстояния с точностью до 0,1 мм. Для измере- ния расстояний на местности пользуются рулет- кой, которая представляет собой ленту с нанесён- ными на ней делениями (рис. 30).