При каких а уравнение ||2𝑥| − 1| = 𝑥 − 𝑎 имеет ровно три решения? (решить графич. методом);

Чтобы определить, при каких значениях \( a \) уравнение \( ||2x| - 1| = x - a \) имеет ровно три решения, можно воспользоваться графическим методом.

Сначала рассмотрим обе стороны уравнения. Задача сводится к нахождению точек пересечения графиков функций \( y = ||2x| - 1| \) и \( y = x - a \).

1. Анализ функции \( y = ||2x| - 1| \):

   • Для \( x \geq 0 \): \[ |2x| = 2x \quad \Rightarrow \quad ||2x| - 1| = |2x - 1| \]

     • Если \( 2x - 1 \geq 0 \) (т.е. \( x \geq 0.5 \)), то \( ||2x| - 1| = 2x - 1 \).
     • Если \( 2x - 1 < 0 \) (т.е. \( x < 0.5 \)), то \( ||2x| - 1| = 1 - 2x \).

   • Для \( x < 0 \): \[ |2x| = -2x \quad \Rightarrow \quad ||2x| - 1| = |-2x - 1| = 2x + 1 \]

   В итоге, функция \( y = ||2x| - 1| \) принимает следующие формы:

   • Для \( x < -0.5 \): \( y = -2x - 1 \)
   • Для \( -0.5 \leq x < 0.5 \): \( y = 1 - 2x \)
   • Для \( x \geq 0.5 \): \( y = 2x - 1 \)

2. Анализ функции \( y = x - a \): Это прямая, с угловым коэффициентом 1, пересекающая ось y в точке \( -a \).

Теперь задача состоит в том, чтобы выяснить, при каких \( a \) график прямой пересекает график функции \( y = ||2x| - 1| \) ровно три раза.

Определим ключевые точки:

• У \( x = -0.5 \): \( y = 1 - 2(-0.5) = 2 \).
• У \( x = 0.5 \): \( y = 1 - 2(0.5) = 0 \).

Условия для трех решений:

Чтобы прямая пересекала график функции в трех точках:

1. Прямая должна пересечь сплошные участки функции \( y = ||2x| - 1| \) в точках между \( -0.5 \) и \( 0.5 \) и один раз за её пределами.

Для этого нужно, чтобы прямая \( y = x - a \) пересекала график в:

• Одна точка перед \( -0.5 \) (первая точка).
• Одна точка между \( -0.5 \) и \( 0.5 \) (вторая точка).
• Одна точка после \( 0.5 \) (третья точка).

Установка условий:

1. Если прямая проходит через точку \( (0.5, 0) \), то \( 0 - a = 0 \rightarrow a = 0 \).
2. Для нахождения чёткого значения \( a \), чтобы прямая \( y = x - a \) пересекла график в точке между \( -0.5 \) и \( 0.5 \) дважды, она должна находиться в пределах \( -0.5 \) и \( 0 \) по оси y.

Таким образом, значения \( a \), при которых уравнение имеет ровно три решения, находятся в интервале: \[ -0.5 < a < 0 \]

В этих пределах прямая пересечет график в требуемом количестве точек.