Дану комплексные числа z1=2+i, z2=-3+2i, z3=6-i, z4=-2-5i 1 вычислите: а) 3z1-2z2. б) -4z4+z3 в) z1•z2 г) z3•z4 д) z1/z2 е) z1•z3/z4 ж) z3/z2•z4

Давайте последовательно решим все подзадачи с комплексными числами, которые вы указали.

Даны:

• \( z_1 = 2 + i \)
• \( z_2 = -3 + 2i \)
• \( z_3 = 6 - i \)
• \( z_4 = -2 - 5i \)

а) Вычислим \( 3z_1 - 2z_2 \):

\[ 3z_1 = 3(2 + i) = 6 + 3i \] \[ 2z_2 = 2(-3 + 2i) = -6 + 4i \] Теперь подставим в выражение: \[ 3z_1 - 2z_2 = (6 + 3i) - (-6 + 4i) = 6 + 3i + 6 - 4i = 12 - i \]

б) Вычислим \( -4z_4 + z_3 \):

\[ -4z_4 = -4(-2 - 5i) = 8 + 20i \] \[ -4z_4 + z_3 = (8 + 20i) + (6 - i) = 8 + 6 + 20i - i = 14 + 19i \]

в) Вычислим \( z_1 \cdot z_2 \):

\[ z_1 \cdot z_2 = (2 + i)(-3 + 2i) = 2 \cdot -3 + 2 \cdot 2i + i \cdot -3 + i \cdot 2i \] \[ = -6 + 4i - 3i + 2i^2 \] Так как \( i^2 = -1 \): \[ = -6 + i - 2 = -8 + i \]

г) Вычислим \( z_3 \cdot z_4 \):

\[ z_3 \cdot z_4 = (6 - i)(-2 - 5i) = 6 \cdot -2 + 6 \cdot -5i - i \cdot -2 - i \cdot -5i \] \[ = -12 - 30i + 2 + 5i^2 \] \[ = -12 + 2 - 30i - 5 = -10 - 30i \]

д) Вычислим \( \frac{z_1}{z_2} \):

Для деления комплексных чисел умножим числитель и знаменатель на конъюгат знаменателя: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + i}{-3 + 2i} \cdot \frac{-3 - 2i}{-3 - 2i} = \frac{(2 + i)(-3 - 2i)}{(-3)^2 + (2)^2} \] Сначала вычислим числитель: \[ (2 + i)(-3 - 2i) = 2 \cdot -3 + 2 \cdot -2i + i \cdot -3 + i \cdot -2i \] \[ = -6 - 4i - 3i - 2i^2 = -6 - 7i + 2 = -4 - 7i \] Теперь вычислим знаменатель: \[ (-3)^2 + (2)^2 = 9 + 4 = 13 \] Следовательно: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{-4 - 7i}{13} = -\frac{4}{13} - \frac{7}{13}i \]

е) Вычислим \( \frac{z_1 \cdot z_3}{z_4} \):

Сначала найдём \( z_1 \cdot z_3 \): \[ z_1 \cdot z_3 = (2 + i)(6 - i) = 2 \cdot 6 + 2 \cdot -i + i \cdot 6 + i \cdot -i \] \[ = 12 - 2i + 6i - i^2 = 12 + 4i + 1 = 13 + 4i \] Теперь делим на \( z_4 \): \[ \frac{z_1 \cdot z_3}{z_4} = \frac{13 + 4i}{-2 - 5i} \cdot \frac{-2 + 5i}{-2 + 5i} = \frac{(13 + 4i)(-2 + 5i)}{(-2)^2 + (5)^2} \] Сначала вычислим числитель: \[ (13 + 4i)(-2 + 5i) = 13 \cdot -2 + 13 \cdot 5i + 4i \cdot -2 + 4i \cdot 5i \] \[ = -26 + 65i - 8i + 20i^2 = -26 + 57i - 20 = -46 + 57i \] Теперь знаменатель: \[ 4 + 25 = 29 \] Следовательно: \[ \frac{z_1 \cdot z_3}{z_4} = \frac{-46 + 57i}{29} = -\frac{46}{29} + \frac{57}{29}i \]

ж) Вычислим \( \frac{z_3}{z_2 \cdot z_4} \):

Сначала найдем \( z_2 \cdot z_4 \): \[ z_2 \cdot z_4 = (-3 + 2i)(-2 - 5i) = (-3)(-2) + (-3)(-5i) + (2i)(-2) + (2i)(-5i) \] \[ = 6 + 15i - 4i - 10i^2 = 6 + 11i + 10 = 16 + 11i \] Теперь делим \( z_3 \) на это произведение: \[ \frac{z_3}{z_2 \cdot z_4} = \frac{6 - i}{16 + 11i} \cdot \frac{16 - 11i}{16 - 11i} = \frac{(6 - i)(16 - 11i)}{16^2 + 11^2} \] Вычислим числитель: \[ (6 - i)(16 - 11i) = 6 \cdot 16 + 6 \cdot -11i - i \cdot 16 + i \cdot 11i \] \[ = 96 - 66i - 16i - 11 = 85 - 82i \] Теперь знаменатель: \[ 256 + 121 = 377 \] Итак, \[ \frac{z_3}{z_2 \cdot z_4} = \frac{85 - 82i}{377} = \frac{85}{377} - \frac{82}{377}i \]

Таким образом, решения для всех подзадач следующие:

1. \( 3z_1 - 2z_2 = 12 - i \)
2. \( -4z_4 + z_3 = 14 + 19i \)
3. \( z_1 \cdot z_2 = -8 + i \)
4. \( z_3 \cdot z_4 = -10 - 30i \)
5. \( \frac{z_1}{z_2} = -\frac{4}{13} - \frac{7}{13}i \)
6. \( \frac{z_1 \cdot z_3}{z_4} = -\frac{46}{29} + \frac{57}{29}i \)
7. \( \frac{z_3}{z_2 \cdot z_4} = \frac{85}{377} - \frac{82}{377}i \)