Основание прямого параллелепипеда с боковым ребром 8 м является ромб с дивгоналями 10 м и 24 м. Найдите боковую и полную поверхности параллелепипеда.
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Определим площадь основания (ромба): Формула для вычисления площади ромба: \[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \] где \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали ромба. В нашем случае:
- \(d_1 = 10 \, \text{м}\)
- \(d_2 = 24 \, \text{м}\)
Подставим значения: \[ S = \frac{10 \cdot 24}{2} = \frac{240}{2} = 120 \, \text{м}^2 \]
Вычислим боковую поверхность параллелепипеда: Боковая поверхность прямого параллелепипеда находится по формуле: \[ S_{\text{бок}} = P \cdot h \] где \(P\) — периметр основания, а \(h\) — высота (боковое ребро).
Периметр ромба:
- Все стороны ромба равны, и их длина можно найти по диагоналям. Используем теорему Пифагора. Половина каждой диагонали составляет два прямоугольных треугольника: \[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{м} \] Значит, каждая из сторон ромба равна 13 м.
Периметр: \[ P = 4a = 4 \cdot 13 = 52 \, \text{м} \]
Теперь подставим в формулу для боковой поверхности: \[ S_{\text{бок}} = P \cdot h = 52 \cdot 8 = 416 \, \text{м}^2 \]
Вычислим полную поверхность параллелепипеда: Полная поверхность складывается из боковой и двух оснований: \[ S_{\text{пол}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S \] Подставляем известные значения: \[ S_{\text{пол}} = 416 + 2 \cdot 120 = 416 + 240 = 656 \, \text{м}^2 \]
Таким образом, боковая поверхность параллелепипеда составляет \(416 \, \text{м}^2\), а полная поверхность \(656 \, \text{м}^2\).
