y=x^3-6x [-3;3]
Для анализа функции \( y = x^3 - 6x \) на интервале \([-3, 3]\) полезно выполнить несколько шагов: найдем производную, определим критические точки, а затем исследуем поведение функции на заданном интервале.
Нахождение производной: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x) = 3x^2 - 6 \]
Критические точки: Установим производную равной нулю: \[ 3x^2 - 6 = 0 \]
Решим уравнение: \[ 3x^2 = 6 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2} \]
Таким образом, критические точки — это \( x = -\sqrt{2} \) и \( x = \sqrt{2} \).
Значения функции на критических точках и концах интервала: Теперь найдем значения функции в критических точках и на границах интервала:
- При \( x = -3 \): \[ y(-3) = (-3)^3 - 6(-3) = -27 + 18 = -9 \]
- При \( x = -\sqrt{2} \): \[ y(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \]
- При \( x = \sqrt{2} \): \[ y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = -4\sqrt{2} \]
- При \( x = 3 \): \[ y(3) = (3)^3 - 6(3) = 27 - 18 = 9 \]
Сравнение значений: Теперь у нас есть значения функции для каждого рассмотренного случая:
- \( y(-3) = -9 \)
- \( y(-\sqrt{2}) \approx 5.656 \) (приблизительно)
- \( y(\sqrt{2}) \approx -5.656 \) (приблизительно)
- \( y(3) = 9 \)
Вывод: На основании этих расчетов, на интервале \([-3, 3]\) функция достигает минимального значения примерно \(-9\) (в точке \( x = -3 \)) и максимального значения \(9\) (в точке \( x = 3 \)). Функция имеет критические точки в \( x = -\sqrt{2} \) и \( x = \sqrt{2} \), где значения \( y \) составляют примерно \( 5.656 \) и \(-5.656\) соответственно.
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим материалам, не стесняйтесь спрашивать!
