(х-3)(4-х)≤0

Чтобы решить неравенство (x - 3)(4 - x) ≤ 0, начнем с нахождения корней этого неравенства.

1. Найдем точки, где выражение равно нулю:
   • (x - 3) = 0 ⇒ x = 3
   • (4 - x) = 0 ⇒ x = 4

Таким образом, корни неравенства: x = 3 и x = 4.

2. Теперь определим промежутки, которые следует проверить. У нас есть три промежутка:

   • (-∞, 3)
   • [3, 4]
   • (4, ∞)

3. Проверим знак произведения в каждом промежутке.

• Для промежутка (-∞, 3): Выберем, например, x = 0: (0 - 3)(4 - 0) = (-3)(4) = -12 < 0 (отрицательное)

• Для промежутка [3, 4]: Выберем x = 3: (3 - 3)(4 - 3) = (0)(1) = 0 (равно нулю)

  Выберем x = 4: (4 - 3)(4 - 4) = (1)(0) = 0 (равно нулю)

• Для промежутка (4, ∞): Выберем, например, x = 5: (5 - 3)(4 - 5) = (2)(-1) = -2 < 0 (отрицательное)

4. Подводим итоги по знакам:
   • (-∞, 3): знак отрицательный
   • [3, 4]: знак равен нулю
   • (4, ∞): знак отрицательный

Согласно неравенству (x - 3)(4 - x) ≤ 0, мы включаем промежутки, где произведение отрицательно или равно нулю. Поэтому ответ будет:

x ∈ (-∞, 3] ∪ [4, ∞)

Таким образом, решение неравенства: x ≤ 3 или x ≥ 4.