x2/x-2≥0 решить неравенство
Для того чтобы решить неравенство \( \frac{x^2}{x - 2} \geq 0 \), необходимо выполнить несколько шагов.
Определение нулей числителя: Начнем с нахождения нулей числителя \( x^2 = 0 \). Это уравнение имеет решение \( x = 0 \).
Определение точки разрыва: Теперь определим, где дробь не определена, то есть где знаменатель равен нулю: \( x - 2 = 0 \). Это дает нам точку разрыва \( x = 2 \).
Анализ знаков на промежутках: Мы имеем три ключевых значения:
- \( x = 0 \) (ноль числителя)
- \( x = 2 \) (ноль знаменателя)
Это делит числовую ось на следующие интервалы:
- \( (-\infty, 0) \)
- \( (0, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Теперь проанализируем знаки на каждом из этих интервалов.
Интервал \( (-\infty, 0) \): Выберем, например, \( x = -1 \). \[ \frac{(-1)^2}{-1 - 2} = \frac{1}{-3} < 0 \]
Интервал \( (0, 2) \): Выберем \( x = 1 \). \[ \frac{(1)^2}{1 - 2} = \frac{1}{-1} < 0 \]
Интервал \( (2, +\infty) \): Выберем \( x = 3 \). \[ \frac{(3)^2}{3 - 2} = \frac{9}{1} > 0 \]
Сбор информации:
- На интервале \( (-\infty, 0) \) дробь отрицательна.
- На интервале \( (0, 2) \) дробь также отрицательна.
- На интервале \( (2, +\infty) \) дробь положительна.
Учтите значения в краевых точках:
- При \( x = 0 \): \( \frac{0^2}{0 - 2} = 0 \), что удовлетворяет неравенству \( \geq 0 \).
- При \( x = 2 \): дробь не определена.
Итог: Таким образом, решением неравенства является интервал: \[ x \in [0, 2) \cup (2, +\infty) \]
Это решение включает точку 0, но не включает 2, так как в этой точке дробь не определена.
