Решить неравенство

Привет! Давай разберёмся с этим неравенством вместе. Нам нужно решить неравенство \(|x-5| + |x+2| < 5\).

1. Рассмотрим три случая для различных значений x:

   • x < -2
   • -2 ≤ x ≤ 5
   • x > 5

2. Рассмотрим первый случай: \(x < -2\)

   В этом случае обе части модуля отрицательные, поэтому: \(|x-5| = 5 - x\) и \(|x+2| = -x - 2\).

   Подставляем в неравенство: \( (5 - x) + (-x - 2) < 5 \)

   Сокращаем: \(5 - x - x - 2 < 5\) \(3 - 2x < 5\)

   Перенесем 3 в правую часть: \(-2x < 2\)

   Делим на -2 (при делении на отрицательное неравенство меняется знак): \(x > -1\)

   Так как в этом случае \(x < -2\), решений здесь нет.

3. Рассмотрим второй случай: \(-2 ≤ x ≤ 5\)

   В этом случае \(|x-5| = 5 - x\) и \(|x+2| = x + 2\).

   Подставим в неравенство: \( (5 - x) + (x + 2) < 5 \)

   Сокращаем: \(5 - x + x + 2 < 5\) \(7 < 5\)

   Это невозможно, значит решений в этом случае нет.

4. Рассмотрим третий случай: \(x > 5\)

   В этом случае обе части модуля положительны, поэтому: \(|x-5| = x - 5\) и \(|x+2| = x + 2\).

   Подставляем в неравенство: \( (x - 5) + (x + 2) < 5 \)

   Сокращаем: \(x - 5 + x + 2 < 5\) \(2x - 3 < 5\)

   Перенесем -3 в правую часть: \(2x < 8\)

   Делим на 2: \(x < 4\)

   Так как в этом случае \(x > 5\), решений здесь тоже нет.

Таким образом, неравенство не имеет решений.