3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной с значение дроби: 3. Докажите, что при всех допустимых значениях перем ной с значение дроби: 1) 16d - d2 - 65 d2 + 4d + 4…

Чтобы доказать, что дробь \(\frac{16d - d^2 - 65}{d^2 + 4d + 4}\) отрицательна при всех допустимых значениях переменной \(d\), давайте рассмотрим числитель и знаменатель этой дроби отдельно.

1. Числитель: Рассмотрим выражение \(16d - d^2 - 65\). Мы можем переписать его в стандартном виде: \[ -d^2 + 16d - 65 = - (d^2 - 16d + 65) \] Теперь найдем корни этого квадратного уравнения \(d^2 - 16d + 65 = 0\) с помощью формулы корней: \[ d = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -16\), \(c = 65\). Подставим значения: \[ d = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 65}}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 260}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{-4}}{2} \] Мы видим, что дискриминант отрицательный (\(-4\)), что означает, что у уравнения нет действительных корней. Таким образом, парабола \(d^2 - 16d + 65\) вогнута вверх и никогда не пересекает ось абсцисс. Поскольку дискриминант отрицательный, это выражение всегда положительно, значит наше начальное выражение \(16d - d^2 - 65\) всегда отрицательно.

2. Знаменатель: Теперь рассмотрим знаменатель \(d^2 + 4d + 4\). Это тоже квадратное уравнение, которое можно записать как: \[ (d + 2)^2 \] Значение \((d + 2)^2\) всегда неотрицательно и равно нулю только когда \(d = -2\). Однако в целом, для всех \(d \neq -2\) знаменатель положителен.

Таким образом, учитывая, что числитель всегда отрицательнен (при всех допустимых значениях \(d\)) и знаменатель положителен (при \(d \neq -2\)), дробь \(\frac{16d - d^2 - 65}{d^2 + 4d + 4}\) будет отрицательной.

Итак, мы можем заключить, что: \[ \frac{16d - d^2 - 65}{d^2 + 4d + 4} < 0 \quad \text{при всех допустимых значениях } d. \]