2x-y-2z=2 2x+y-z=-1 -2x-y-2z=4 Решить методом Гаусса
Чтобы решить систему уравнений методом Гаусса, первым делом запишем ее в виде расширенной матрицы:
\[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 & | & 2 \\ 2 & 1 & -1 & | & -1 \\ -2 & -1 & -2 & | & 4 \end{pmatrix} \]
Теперь будем приводить матрицу к верхне-треугольному виду.
- Первая строка остаётся без изменений:
\[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 & | & 2 \\ 2 & 1 & -1 & | & -1 \\ -2 & -1 & -2 & | & 4 \end{pmatrix} \]
- Вторая строка: вычтем первую строку из второй строки:
\[ R_2 = R_2 - R_1 \Rightarrow 2 - 2 = 0, \quad 1 - (-1) = 2, \quad -1 - (-2) = 1, \quad -1 - 2 = -3 \]
Таким образом, получаем:
\[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 & | & 2 \\ 0 & 2 & 1 & | & -3 \\ -2 & -1 & -2 & | & 4 \end{pmatrix} \]
- Третья строка: сложим первую строку с третьей строкой:
\[ R_3 = R_3 + R_1 \Rightarrow -2 + 2 = 0, \quad -1 + (-1) = -2, \quad -2 + (-2) = -4, \quad 4 + 2 = 6 \]
Теперь у нас есть следующая матрица:
\[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 & | & 2 \\ 0 & 2 & 1 & | & -3 \\ 0 & -2 & -4 & | & 6 \end{pmatrix} \]
- Теперь сделаем так, чтобы элементы под вторым элементом второй строки стали равны нулю. Для этого сложим вторую и третью строки:
\[ R_3 = R_3 + R_2 \Rightarrow 0 + 0 = 0, \quad -2 + 2 = 0, \quad -4 + 1 = -3, \quad 6 + (-3) = 3 \]
В результате матрица стала выглядеть так:
\[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 & | & 2 \\ 0 & 2 & 1 & | & -3 \\ 0 & 0 & -3 & | & 3 \end{pmatrix} \]
Теперь мы можем выразить переменные, начиная с последней строки.
Из последней строки:
\[ -3z = 3 \Rightarrow z = -1 \]
Подставим значение \( z \) во вторую строку:
\[ 0y + 2y + 1(-1) = -3 \Rightarrow 2y - 1 = -3 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1 \]
Теперь подставим значения \( y \) и \( z \) в первую строку:
\[ 2x - (-1) - 2(-1) = 2 \Rightarrow 2x + 1 + 2 = 2 \Rightarrow 2x + 3 = 2 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \]
Итак, решения системы уравнений:
\[ x = -\frac{1}{2}, \quad y = -1, \quad z = -1 \]
Это и есть искомые значения для переменных \( x \), \( y \) и \( z \).
