-x-y-2z=2 2x+y-z=-1 -2x-y-2z=4 Решить методом Гаусса

Для решения системы линейных уравнений методом Гаусса, начнем с представления системы в виде матрицы коэффициентов.

Дана система:

1. \(-x - y - 2z = 2\)
2. \(2x + y - z = -1\)
3. \(-2x - y - 2z = 4\)

Сначала переписываем в виде augmented матрицы (расширенной матрицы):

\[ \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & | & 2 \\ 2 & 1 & -1 & | & -1 \\ -2 & -1 & -2 & | & 4 \\ \end{pmatrix} \]

Теперь будем преобразовывать эту матрицу, используя операции над строками, чтобы привести её к верхне-треугольному виду.

1. Умножим первую строку на -1, чтобы сделать первый элемент положительным:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & -2 \\ 2 & 1 & -1 & | & -1 \\ -2 & -1 & -2 & | & 4 \\ \end{pmatrix} \]

2. Теперь вычтем \(2\) первую строку из второй строки, чтобы обнулить элемент в первой колонке второй строки:

\[ 2 - 2(1) = 0, \quad 1 - 2(1) = -1, \quad -1 - 2(2) = -5, \quad -1 - 2(-2) = 3 \]

Таким образом, вторая строка становится:

\[ 0 & -1 & -5 & | & 3 \]

Тем самым, матрица становится:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & -2 \\ 0 & -1 & -5 & | & 3 \\ -2 & -1 & -2 & | & 4 \\ \end{pmatrix} \]

3. Теперь добавим \(2\) раза первую строку к третьей строке, чтобы обнулить элемент в первой колонке третьей строки:

\[ -2 + 2(1) = 0, \quad -1 + 2(1) = 1, \quad -2 + 2(2) = 2, \quad 4 + 2(-2) = 0 \]

Тогда третья строка становится:

\[ 0 & 1 & 2 & | & 0 \]

Теперь матрица выглядит так:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & -2 \\ 0 & -1 & -5 & | & 3 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \]

4. Теперь добавим вторую строку к третьей строке:

\[ -1 + 1 = 0,\quad -5 + 2 = -3,\quad 3 + 0 = 3 \]

Тогда получаем:

\[ 0 & 0 & -3 & | & 3 \]

Теперь матрица становится:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & -2 \\ 0 & -1 & -5 & | & 3 \\ 0 & 0 & -3 & | & 3 \\ \end{pmatrix} \]

5. Теперь можем выразить \(z\) из последней строки:

\[ -3z = 3 \implies z = -1 \]

6. Подставим \(z\) во вторую строку:

\[ -1y - 5(-1) = 3 \] \[ -y + 5 = 3 \implies -y = -2 \implies y = 2 \]

7. Подставим \(y\) и \(z\) в первую строку:

\[ x + 2 + 2(-1) = -2 \] \[ x + 2 - 2 = -2 \implies x = -2 \]

Таким образом, решение системы:

\[ x = -2, \quad y = 2, \quad z = -1 \]

Ответ: \(x = -2\), \(y = 2\), \(z = -1\).