3. Докажите, что при всех допустимых значениях перем ной с значение дроби 2)d²-12d+36/(d¹⁰+1) не отрицательное
Для того чтобы доказать, что дробь
\[ \frac{d^2 - 12d + 36}{d^{10} + 1} \]
неотрицательна при всех допустимых значениях переменной \( d \), давайте проанализируем числитель и знаменатель отдельно.
- Числитель: \( d^2 - 12d + 36 \)
Это квадратный трёхчлен, который можно представить в виде
\[ (d - 6)^2. \]
Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то мы имеем:
\[ (d - 6)^2 \geq 0 \]
для всех \( d \). Числитель равен нулю только в точке \( d = 6 \).
- Знаменатель: \( d^{10} + 1 \)
Этот полином всегда положителен, так как \( d^{10} \) - неотрицательная функция для всех \( d \), и добавление 1 делает выражение строго положительным:
\[ d^{10} + 1 > 0 \]
для всех действительных \( d \).
Теперь мы можем объединить результаты:
- Числитель \( (d - 6)^2 \) всегда неотрицателен и становится равным нулю только в одной точке.
- Знаменатель \( d^{10} + 1 \) всегда положителен.
Таким образом, дробь
\[ \frac{(d - 6)^2}{d^{10} + 1} \]
не может принимать отрицательные значения. Она равна нулю только в точке \( d = 6 \) и положительна при всех остальных допустимых значениях \( d \).
Следовательно, мы доказали, что
\[ \frac{d^2 - 12d + 36}{d^{10} + 1} \geq 0 \]
при всех допустимых значениях переменной \( d \).
