461. В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро равно 12 см, площадь диагонального сечения равна 312 см², пло- щадь основания 240 см³. Вычислите стороны его основа- ния.
В прямоугольном параллелепипеде обозначим стороны основания как \( a \) и \( b \), а боковое ребро как \( h \), которое равно 12 см. Площадь основания \( S_{осн} \) равна произведению сторон основания:
\[ S_{осн} = a \cdot b = 240 \, \text{см}^2. \]
Площадь диагонального сечения \( S_{д} \) рассматривается как площадь треугольника с основаниями \( a \) и \( b \), и высотой \( h \). Площадь треугольника можно выразить через формулу:
\[ S_{д} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \frac{h}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \]
Однако в данной задаче площадь диагонального сечения задана как 312 см². Учитывая это, можно использовать формулу для диагонального сечения, которая упрощается до:
\[ S_{д} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot \sqrt{a^{2} + b^{2}}. \]
Подставляем известные значения:
\[ 312 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt{a^{2} + b^{2}}. \]
Упрощаем уравнение:
\[ 312 = 6 \cdot \sqrt{a^{2} + b^{2}}. \]
Делим обе стороны на 6:
\[ \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 52. \]
Теперь возведем в квадрат:
\[ a^{2} + b^{2} = 2704. \]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( a \cdot b = 240 \)
- \( a^{2} + b^{2} = 2704 \)
Используем первое уравнение, чтобы выразить \( b \) через \( a \):
\[ b = \frac{240}{a}. \]
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[ a^{2} + \left(\frac{240}{a}\right)^{2} = 2704. \]
Упрощаем:
\[ a^{2} + \frac{57600}{a^{2}} = 2704. \]
Умножаем все уравнение на \( a^{2} \) (предполагая, что \( a \neq 0 \)):
\[ a^{4} - 2704a^{2} + 57600 = 0. \]
Обозначим \( x = a^{2} \). Тогда уравнение становится квадратным:
\[ x^{2} - 2704x + 57600 = 0. \]
Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = 2704^{2} - 4 \cdot 57600 = 7311616 - 230400 = 7081216. \]
Находим корни:
\[ x = \frac{2704 \pm \sqrt{7081216}}{2} = \frac{2704 \pm 2664}{2}. \]
Теперь находим два возможных значения:
- \( x_1 = \frac{2704 + 2664}{2} = 2684 \) (это значение не подходит, так как оно слишком велико для оснований)
- \( x_2 = \frac{2704 - 2664}{2} = 20 \).
Таким образом, \( a^{2} = 20 \), что означает \( a = \sqrt{20} \approx 4.47 \).
Теперь найдем \( b \):
\[ b = \frac{240}{\sqrt{20}} = \frac{240 \sqrt{20}}{20} = 24 \sqrt{5} \approx 53.66. \]
Итак, стороны основания \( a \approx 4.47 \) см и \( b \approx 53.66 \) см.
