log4 (x²-6x) =2
Чтобы решить уравнение \(\log_4 (x^2 - 6x) = 2\), давайте начнем с преобразования логарифмического уравнения в степень.
Преобразуем уравнение: \[ x^2 - 6x = 4^2 \] Так как \(\log_b a = c\) эквивалентно \(a = b^c\).
Вычисляем \(4^2\): \[ 4^2 = 16 \] Поэтому у нас получается: \[ x^2 - 6x = 16 \]
Переносим 16 в левую часть: \[ x^2 - 6x - 16 = 0 \]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = -16\).
Сначала находим дискриминант: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \]
Далее подставим значения \(a\), \(b\) и \(D\) в формулу: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 10}{2} \]
Теперь находим два корня:
- Первый корень: \[ x_1 = \frac{16}{2} = 8 \]
- Второй корень: \[ x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
Теперь проверяем, подходит ли найденное значение для логарифма. Значение логарифма должно быть положительным:
- Для \(x = 8\): \[ x^2 - 6x = 8^2 - 6 \cdot 8 = 64 - 48 = 16 \quad (\text{положительное, подходит}) \]
- Для \(x = -2\): \[ x^2 - 6x = (-2)^2 - 6 \cdot (-2) = 4 + 12 = 16 \quad (\text{положительное, подходит}) \]
Таким образом, оба корня \(x = 8\) и \(x = -2\) являются решениями уравнения.
Ответ: \(x = 8\) и \(x = -2\).
