тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен 2/5 один из катетов на 6 см больше другого найдите площадь треугольника

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике, где тангенс острого угла равен \( \frac{2}{5} \), мы можем использовать соотношение тангенса и катетов.

Обозначим катеты \( a \) и \( b \), где \( a \) - это меньший катет, а \( b \) - это больший катет. Из условия задачи мы знаем, что:

\[ b = a + 6 \]

Также, согласно определению тангенса, мы имеем:

\[ \tan(\theta) = \frac{a}{b} = \frac{2}{5} \]

Подставив значение \( b \) из первого уравнения во второе, мы получаем:

\[ \frac{a}{a + 6} = \frac{2}{5} \]

Теперь cross-multiplying (перемножим крест-накрест):

\[ 5a = 2(a + 6) \]

Раскроем скобки:

\[ 5a = 2a + 12 \]

Теперь переместим все члены с \( a \) в одну сторону:

\[ 5a - 2a = 12 \]

Это упрощается до:

\[ 3a = 12 \]

Теперь решим уравнение для \( a \):

\[ a = 4 \]

Теперь, зная \( a \), можем найти \( b \):

\[ b = a + 6 = 4 + 6 = 10 \]

Теперь у нас есть длины катетов \( a = 4 \) см и \( b = 10 \) см. Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20 \]

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна \( 20 \) см².