с²-2с+2/(с²+18с+81) доказать,что не отрицательное
Чтобы доказать, что выражение \( \frac{c^2 - 2c + 2}{c^2 + 18c + 81} \) является неотрицательным, начнем с анализа числителя и знаменателя.
Анализ числителя \( c^2 - 2c + 2 \): Мы можем представить числитель в виде квадрата следующего выражения. Сначала найдем дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \] Поскольку дискриминант отрицателен, у уравнения \( c^2 - 2c + 2 = 0 \) нет действительных корней, что означает, что этот квадратный трёхчлен не меняет знак. Также, так как коэффициент при \( c^2 \) положительный (равен 1), то \( c^2 - 2c + 2 > 0 \) для всех \( c \).
Анализ знаменателя \( c^2 + 18c + 81 \): Рассмотрим этот квадратный трёхчлен. Найдем его дискриминант: \[ D = (18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 324 - 324 = 0 \] Поскольку дискриминант равен нулю, у этого уравнения есть один двойной корень. Выразим корень: \[ c^2 + 18c + 81 = (c + 9)^2 \] Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, \( (c + 9)^2 \geq 0 \) для всех \( c \).
Оценка всего выражения: Таким образом, мы имеем: \[ \frac{c^2 - 2c + 2}{c^2 + 18c + 81} = \frac{> 0}{\geq 0} \] Знаменатель может равняться нулю только в точке \( c = -9 \). Но в любом другом случае, числитель всегда положительный, а знаменатель — неотрицательный (равен нулю в точке \( c = -9 \)). Это значит, что выражение \( \frac{c^2 - 2c + 2}{c^2 + 18c + 81} \) будет неотрицательным для всех \( c \), кроме точки \( c = -9 \), где оно не определено.
Таким образом, мы доказали, что выражение является неотрицательным для всех \( c \), кроме \( c = -9 \).
