высота цилиндра на 12 см больше его радиума, а площадь полной поверхности равна 288π см. Найдите радиус основания и высоту цилиндра
Рассмотрим задачу. Дано, что высота цилиндра \( h \) на 12 см больше радиуса основания \( r \). Это можно записать как:
\[ h = r + 12 \]
Также известно, что площадь полной поверхности цилиндра равна \( 288\pi \) см². Формула для площади полной поверхности цилиндра выглядит следующим образом:
\[ S = 2\pi r^2 + 2\pi rh \]
где \( 2\pi r^2 \) – это площадь двух оснований, а \( 2\pi rh \) – площадь боковой поверхности. Подставим \( h \) из первого уравнения во второе:
\[ S = 2\pi r^2 + 2\pi r(r + 12) \]
Теперь упростим это выражение:
\[ S = 2\pi r^2 + 2\pi r^2 + 24\pi r \] \[ S = 4\pi r^2 + 24\pi r \]
Итак, по условию задачи, мы знаем, что:
\[ 4\pi r^2 + 24\pi r = 288\pi \]
Теперь можно разделить обе стороны уравнения на \( 4\pi \):
\[ r^2 + 6r = 72 \]
Приведем это уравнение к стандартной форме:
\[ r^2 + 6r - 72 = 0 \]
Теперь применим формулу решений квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В данном случае \( a = 1 \), \( b = 6 \), \( c = -72 \):
\[ r = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72)}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 288}}{2} \] \[ r = \frac{-6 \pm \sqrt{324}}{2} \] \[ r = \frac{-6 \pm 18}{2} \]
Теперь рассмотрим два случая:
- \( r = \frac{12}{2} = 6 \)
- \( r = \frac{-24}{2} = -12 \) (отрицательный радиус не имеет физического смысла)
Таким образом, радиус основания цилиндра \( r = 6 \) см. Теперь подставим это значение назад, чтобы найти высоту:
\[ h = r + 12 = 6 + 12 = 18 \text{ см} \]
Таким образом, радиус основания цилиндра равен 6 см, а высота цилиндра равна 18 см.
