решите уравнение (х² – 5х + 6)√2х – 5=0 решите уравнение 2х⁴ – 17х² – 9 = 0
Давайте решим оба уравнения по порядку.
- Уравнение: \((x^2 - 5x + 6)\sqrt{2x} - 5 = 0\)
Начнем с того, что упростим его. Сначала изолируем корень:
\((x^2 - 5x + 6)\sqrt{2x} = 5\)
Теперь, чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны в квадрат:
\((x^2 - 5x + 6)^2 \cdot (2x) = 25\)
Теперь упростим левую часть:
\((x^2 - 5x + 6)^2 = (x^2 - 5x + 6)(x^2 - 5x + 6)\)
Путем разложения или использования формулы расширения можно получить квадратный трёхчлен, который проще анализировать. Давайте решим:
Найдем корни уравнения \(x^2 - 5x + 6 = 0\) с помощью дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\]
Корни: \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = 2\]
Теперь подставляем в \(\sqrt{2x}\):
Под корень подставляем корни \(x_1\) и \(x_2\):
Для \(x = 2\): \((2^2 - 5 \cdot 2 + 6)\sqrt{2 \cdot 2} - 5 = (4-10+6)\sqrt{4} - 5 = 0\)
Для \(x = 3\): \((3^2 - 5 \cdot 3 + 6)\sqrt{2 \cdot 3} - 5 = (9-15+6)\sqrt{6} - 5 \neq 0\)
Таким образом, единственный корень уравнения — это \(x = 2\).
- Уравнение: \(2x^4 - 17x^2 - 9 = 0\)
Это уравнение можно рассматривать как квадратное по отношению к \(y = x^2\). Подставим \(y\):
\[2y^2 - 17y - 9 = 0\]
Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:
\[D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 289 + 72 = 361\]
Корни находятся по формуле:
\[y_1 = \frac{17 + \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{17 + 19}{4} = 9\]
\[y_2 = \frac{17 - \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{17 - 19}{4} = -\frac{1}{2}\]
Так как \(y = x^2\), принимаем только положительное значение \(y_1 = 9\):
Значит, \(x^2 = 9\) и \(x = 3\) или \(x = -3\).
Корни второго уравнения: \(x = 3\) и \(x = -3\).
Теперь у нас есть все корни обоих уравнений:
- Из первого уравнения \(x = 2\).
- Из второго уравнения \(x = 3\) и \(x = -3\).
Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
