0,(09)+0,(18)+0,(27)+...+0,(81)+0,(90) .

Чтобы решить задачу, давайте сначала поймем, что представляют собой данные числа. Это последовательность десятичных дробей: 0,09; 0,18; 0,27; ...; 0,81; 0,90.

Можно заметить, что каждая из дробей может быть выражена в виде \( 0,09 \times n \), где \( n \) - это целое число от 1 до 10:

• \( 0,09 \times 1 = 0,09 \)
• \( 0,09 \times 2 = 0,18 \)
• \( 0,09 \times 3 = 0,27 \)
• ...
• \( 0,09 \times 9 = 0,81 \)
• \( 0,09 \times 10 = 0,90 \)

Теперь можем записать сумму как:

\[ 0,09 \times (1 + 2 + 3 + ... + 9 + 10) \]

Сумма первых \( n \) натуральных чисел рассчитывается по формуле:

\[ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \]

Для \( n = 10 \):

\[ S_{10} = \frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55 \]

Теперь подставляем это значение обратно в наше уравнение:

\[ 0,09 \times 55 = 4,95 \]

Таким образом, сумма \( 0,09 + 0,18 + 0,27 + ... + 0,81 + 0,90 \) равна \( 4,95 \).